Math Atlas 103

Гомологическая сфера Пуанкаре

Относится к классу гомологических сфер. Наряду с трёхмерной сферой данное трёхмерное многообразие является ключевым персонажем знаменитой гипотезы Пуанкаре, которая была доказана учёным ПОМИ РАН Григорием Перельманом (вместе с гипотезой Тёрстона о геометризации трехмерных многообразий, дающей классификацию всех компактных 3-многообразий).

Сфера Пуанкаре до сих пор греет сердца петербуржцев

Степень отображения (4/4)

Предыдущие примеры получаются надстройкой отображений окружности S¹→S¹

Для отображений окружности степень совпадает с индексом/порядком точки относительно кривой

Степень отображения (3/4)

Визуализация отображения S²→S² степени 3

Степень отображения (2/4)

Визуализация отображения S²→S² степени 2

Степень отображения (1/4)

Визуализация тождественного отображения сферы

В понедельник (6 октября) в 17 00 в 201 ауд. (14 линия В.О., дом 29Б) и в Zoom канале ID 933-271-498 (пароль стандартный, спросить у @ilya_s_alekseev):

«Геометрия дискретной группы Гейзенберга»
Руслан Магдиев

Дискретная группа Гейзенберга — это классическая решётка в трёхмерной Nil-геометрии, одной из восьми геометрий Тёрстона. Её граф Кэли можно рассматривать как комбинаторную модель этой геометрии. В докладе мы обсудим, как устроены кратчайшие пути (геодезические) в таком графе.

Мы увидим классификацию геодезических относительно стандартных порождающих и связь с путями на плоской решётке. Кроме того, поговорим о ряде открытых направлений: глубина «тупиков», описание конусов геодезических, формулы для расстояния, локальные описания окрестностей и другие вопросы на стыке комбинаторики и геометрии.

Доклад рассчитан на широкий круг слушателей: от студентов, знакомых с группами и геометрией, до исследователей, интересующихся геометрической теорией групп и её связями с трёхмерными геометриями.

Скрученная геометрия SL(2,R)

00:00 Пространство движений евклидовой плоскости
05:22 Пространство движений двумерной сферы
06:18 Голономия наглядно
08:11 Визуализация скрученного произведения
09:24 При чём здесь кватернионы и вращения
10:26 Пространство движений гиперболической плоскости
12:23 Понятие универсального накрытия
13:23 Кошка на экваторе сферы
15:05 Универсальное накрытие пространства SL(2,R)

(источник)

Основная теорема геометрической топологии

00:00 Гомеоморфизмы и гомеоморфность
14:08 Двумерный аналог гипотезы Пуанкаре
15:23 Определение многообразия
18:29 Конструкция: склейки сторон многоугольников
27:09 Петли и их гомотопия
30:00 Эйлерова характеристика поверхности
36:19 Характеризация двумерной сферы
42:08 Связная сумма поверхностей
48:00 Ориентируемость и ориентация
49:08 Классификация поверхностей
51:30 Доказательство двумерного аналога гипотезы Пуанкаре
54:02 Трёхмерные многообразия
55:03 Трёхмерная сфера
1:00:00 Гипотеза Пуанкаре: история вопроса и вся суть
1:05:20 Метрика и её интуитивное понимание
1:11:00 Скалярная кривизна поверхности
1:13:30 Теорема Гаусса—Бонне
1:14:55 Поверхности постоянной кривизны
1:16:12 Секционная кривизна поверхности
1:17:47 Теорема об униформизации
1:19:03 Потоки Риччи на поверхностях
1:23:55 Потоки Риччи на трёхмерных многообразиях
1:28:49 Доказательство Перельмана геометризации

(источник)

Комбинаторные потоки Риччи и метрики на триангулированных поверхностях

Рассмотрим замкнутую поверхность М и зафиксируем ее триангуляцию. Будем считать что ребра — прямолинейные отрезки, а грани — плоские треугольники. Можно ли так подобрать длины ребер, чтобы кривизны в вершинах были одинаковыми? Здесь кривизной в вершине называется разность $2\pi$ и суммы плоских углов, сходящихся в этой вершине. Например, правильные тетраэдр и икосаэдр имеют одинаковые кривизны в вершинах.

С этим вопросом связано понятие комбинаторного потока Риччи (для поверхностей). Это такой поток, который меняет длину каждого ребра в зависимости от кривизны в его концах. Оказывается, если выбрать этот поток «правильно», то любой набор длин ребер, удовлетворяющий неравенствам треугольника на каждой грани, под действием такого потока превращается в набор длин ребер с постоянными кривизнами в вершинах.

Планируется обсудить эти два сюжета и некоторые смежные с ними.

Материалы
▪️Видеозапись (продолжительность: 5 часов)

Сборник материалов по маломерной топологии: ссылка

Введение в потоки Риччи

00:00 Гипотеза Пуанкаре
02:31 Риманова геометрия
04:17 Потоки Риччи
07:10 Хирургии
07:26 Доказательство гипотезы Пуанкаре

(источник)

В каком смысле трёхмерное геометрическое пространство может деформироваться?

Как войти в математику

• Вход в проективную геометрию
• Вход в дифференциальную геометрию
• Вход в алгебраическую геометрию
• Вход в алгебраическую топологию
• Вход в теорию Галуа
• Вход в комплексную геометрию
• Вход в алгебраическую теорию чисел
• Вход в теорию модулярных форм
• Вход в гиперболическую геометрию
• Вход в голоморфную динамику
• Вход в теорию гомологий
• Вход в двумерную топологию
• Вход в теорию групп
• Вход в математический анализ
• Вход в геометрическую (маломерную) топологию

@geomtop24