Памятка по распознаванию поверхностей

Цель. Определить, ориентируема ли поверхность, и в зависимости от этого установить, сфере с каким числом ручек и дырок (если ориентируема) или сфере с каким числом плёнок и дырок (если неориентируема) она гомеоморфна.

Дано. Некоторым образом заданная компактная поверхность.

▪️В простейшем случае дана развёртка, то есть дизъюнктный набор многоугольников, на некоторых сторонах которых отмечены направления (стрелки) и указаны буквы. Буквы означают спаривание: если две стороны подписаны одной и той же буквой, они отождествляются (таким из двух способов, чтобы направления стрелок на них совпали). Поверхность получается как факторпространство данного дизъюнктного объединения по такому отождествлению.

▪️Также поверхность может быть задана менее явно, скажем, как факторпространство некоторой более сложной поверхности. Например, поверхности с непустым краем по отношению, определённым образом склеивающему её граничные компоненты (см. поверхность Дика тут).

Алгоритм

Шаг 1. Вычислить эйлерову характеристику.
Эйлерова характеристика поверхности может быть вычислена по её произвольному полигональному разбиению. Она равна числу "количество вершин разбиения минус количество рёбер разбиения плюс количество граней разбиения".

Если поверхность задана развёрткой, полигональное разбиение можно получить из её: объявим вершинами образы (относительно канонической проекции из дизъюнктного объединения на факторпространство) вершин многоугольников, объявим рёбрами образы сторон таких многоугольников и объявим гранями образы внутренностей многоугольников:
▪️Грани. Количество граней полигонального разбиения равно количеству многоугольников.
▪️Рёбра. Каждая пара отождествлённых сторон многоугольника (т. е. та, где подписаны буквы) даёт одно ребро, лежащее внутри поверхности, а каждая неспаренная сторона даёт одно ребро, лежащее на крае поверхности, — так можно подсчитать общее количество рёбер полигонального разбиения.
▪️Вершины. Для вычисления количества вершин полигонального разбиения нужно явно указать классы эквивалентности, на которые разбилось множество вершин многоугольников. Для этого для каждой пары отождествляемых сторон (x,y)~(a,b) обозначаем эквивалентными вершины x~a, а также вершины y~b. Чтобы не сбиться, можно делать в такой последовательности: выбрать вершину "x", проделать данную процедуру для смежного к ней ребра (x,y), затем проделать процедуру для второго ребра, смежного к вершине "b", и так далее, пока не зациклимся или пока не наткнёмся на неспаренное (неотождествлённое) ни с кем ребро — и так для всех вершин.

Если же поверхность задана менее явно, то нужно сначала нарисовать на ней правильно вложенный граф (=бьющий ее на диски), а затем вычислять по нему эйлерову характеристику.

Шаг 2. Вычислить количество компонент края поверхности.
Если поверхность задана набором многоугольников, можно, как выше, рассмотреть множество рёбер, лежащих на крае, и понять, смотря на инцидентные этим ребрам вершины, на сколько компонент связности (на поверхности) они бьются. Точнее, начать с вершины на граничной компоненте (т.е. вершине мноугольника, смежной к неспаренной стороне) и аналогично идти вдоль смежных ребёр, пока не зациклимся, и так сделать для всех граничных компонент.

Шаг 3. Определить, ориентируема ли поверхность.
Если поверхность задана набором многоугольников, можно руками соединить некоторые стороны и превратить эти многоугольники в один большой многоугольник (при условии связности поверхности 🙂). Поверхность ориентируема тогда и только тогда, когда на этом большом многоугольнике нет спаренных сторон, направленных в одну и ту же сторону (по часовой или против часовой). Есть и другие способы, но этот — самый простой.

Выводы
▪️Если поверхность ориентируема, она гомеоморфна сфере с n ручками и k дырками, где k — количество граничных компонент, а n находится из формулы "эйлерова характеристика = 2-2n-k".
▪️Если поверхность неориентируема, она гомеоморфна сфере с m плёнками и k дырками, где k — количество граничных компонент, а m находится из формулы "эйлерова характеристика = 2-m-k".