Восемь трёхмерных геометрий

00:00 Евклидова E^3

Евклидово пространство соответствует «обычной» трёхмерной геометрии, которую мы изучаем в школе. Это геометрия плоского вещественного трёхмерного векторного пространства R³

01:02 Сферическая S^3

Трёхмерная сфера S³ — это трёхмерный аналог обычной сферы в двух измерениях. Это изотропное пространство (все направления играют одинаковую роль). Среди восьми геометрий Тёрстона оно единственное компактное. Его можно рассматривать как универсальное накрытие расслоения единичных касательных векторов двумерной сферы (расслоение Хопфа)

02:08 Гиперболическая H^3

Гиперболическое пространство H³ — это трёхмерный аналог гиперболической плоскости. Это тоже изотропное пространство (все направления играют одинаковую роль). Среди восьми геометрий оно имеет наиболее богатый класс решёток (факторы по ним — гиперболические 3-многообразия)

03:20 Произведение гиперболической и евклидовой H^2xE

Это прямое произведение двумерной сферы и вещественной прямой. Его также можно рассматривать как универсальную накрывающую для произведения двумерной сферы и единичной окружности

04:16 Произведение сферической и евклидовой S^2xE

Это прямое произведение гиперболической плоскости и вещественной прямой. Её также можно рассматривать как универсальную накрывающую для произведения сферы с хотя бы 2 ручками и единичной окружности

05:06 Нильпотентная Nil

Это трёхмерная нильпотентная группа Ли. Её также можно рассматривать как универсальную накрывающую пространства, полученного надстрокой (suspension, mapping torus) двумерного тора с помощью скручивания Дена

06:10 Скрученная SL(2,R)

SL(2,R) — это множество всех вещественных матриц 2×2 с определителем, равным единице. Пространство ŜL(2,R) является её универсальной накрывающей. Существует несколько способов представить это пространство. Например, SL(2,R) — это расслоение единичных касательных векторов гиперболической плоскости H². Эта точка зрения придаёт ŜL(2,R) структуру расслоения над H², которое можно рассматривать как гиперболический аналог расслоения Хопфа

07:14 Разрешимая Sol

Sol — это трёхмерная разрешимая группа Ли. Её также можно рассматривать как универсальную накрывающую пространства, полученного надстройкой двумерного тора с помощью отображения кошки-Арнольда-Тома

(источник + галерея + каталог)