Math Atlas 102

Счастливая карьера в математике

00:00 Как Рави стал алгебраическим геометром
03:56 В чём важность школьных учителей
06:37 Как поставить себе задачу для исследования
12:16 Как написать письмо любимому профессору
18:32 О страсти к математике и том, как правильно испугаться
25:01 Как выстроить вокруг себя сообщество
28:54 Математика в СССР: сказка или антисемитизм
31:33 Что важнее: целостная картина или детали
39:15 Как изучать математику, отталкиваясь от задач
41:05 Как разные профессии и навыки высвобождают пар
48:20 Кому стоит присмотреться к прикладной математике
52:35 Как слушать математические доклады
59:18 Три совета начинающим математикам

(источник + перевод) @geomtop24

Дифференцирование, которому вас не учили

00:00 Производная
1:08 Гомологии
3:41 Когомологии
7:45 Теорема де Рама
9:02 Панчлайн

(источник)

Комплексное интегрирование на понятном языке

00:00 Две интуиции вещественного интегрирования
05:54 Визуализация методом Пойи [Pólya vector field]
08:14 Интеграл — это работа и поток векторного поля Пойи
12:17 Теорема Коши (интеграл по замкнутому контуру нулевой)
17:23 Интегрирование 1/z наглядно
21:12 Другие степени z
27:10 Интегральная формула Коши
30:28 Теорема о вычетах и как её использовать
35:00 В чём прикол?

(источник)

Одна формула, чтобы править всеми

00:27 Формула Ньютона-Лейбница
00:57 Формула Грина о роторе
02:19 Формула Гаусса-Остроградского о дивергенции в 3D
02:53 Формула Грина о дивергенции в 2D
03:07 Внешняя производная
03:57 Теорема Стокса
04:56 Интегрирование vs дифференцирование

(источник)

Две интуитивные версии теоремы Грина

00:00 Изначальная формулировка (источник)

01:09 Приложения:
01:42 Динамические системы и теория индекса
01:55 Комплексный анализ и теорема о вычетах
02:18 Предвкушение формулы Стокса (источник)

03:09 1. Формула Грина о роторе
04:02 2. Формула Грина о дивергенции
04:44 Сравнение плотностей (источник)

07:41 Правильная формулировка
09:11 Физическая [интуитивная] интерпретация (источник)

Из серии «Calculus BLUE»

Ротор и дивергенция: наглядное объяснение

0:00 Векторные поля
2:24 Дивергенция
4:40 Ротор
5:57 Уравнения Максвелла: электрические и магнитные поля
7:50 Динамические системы
10:46 Обозначения (скалярное и векторное произведения)

(источник)

Голоморфные (аналитические) функции

1:53 Производная в вещественном смысле
4:31 Дифференциал гладкого отображения наглядно
9:17 Производная в комплексном смысле
13:02 Конформность (сохранение углов)
16:01 Условия Коши-Римана интуитивно

(источник)

Единство математики (источник)

Преобразования Мёбиуса

02:26 Инверсия в 2D (относительно окружности)
08:31 Свойства инверсии
14:21 Инверсия в 3D (относительно сферы)
19:26 Преобразования Мёбиуса как движения сферы Римана
22:37 Гиперболическая геометрия
23:12 Комплексная геометрия
23:24 Математическая физика

(источник)

Дробно-линейные преобразования (Мёбиуса)

00:11 Параллельные переносы
00:17 Растяжения
00:23 Повороты
00:27 Инверсии

(источник)

Визуализация комплексных функций

01:03 Использование цвета
03:35 Трёхмерные графики
05:45 Векторные поля
07:50 z-w-плоскость
10:53 Сфера Римана

13:42 Примеры
14:43 Добавление константы
16:33 Умножение на константу
19:58 Экспоненциирование
23:29 Возведение в целую степень
27:53 Комплексная инверсия
29:21 Ветви квадратного корня
34:29 Римановы поверхности
36:35 Логарифм
40:33 Спиральный график логарифма

(источник)

Суть комплексного анализа

01:31 План мини-курса
02:42 Книга «Visual complex analysis» от Tristan Needham
02:58 Введение в комплексные числа
10:09 Декартовы и полярные координаты
10:48 Формула Эйлера: классическое доказательство
12:20 Формула Эйлера: необычное доказательство
16:01 Сложение и вычитание
17:10 Умножение
19:04 Сопряжение
20:43 Деление
22:21 Возведение в степень
23:09 Логарифмирование
24:48 Синус и косинус
26:54 Формула Муавра
27:46 Извлечение корней
31:51 Формула Эйлера возвращается
34:10 Выводы

Комплексный анализ — невероятно мощный инструмент, находящий приложения в дифференциальных уравнениях (уравнения Лапласа, обратные преобразования Фурье/Лапласа), основной теореме алгебры, теории чисел, гипотезе Римана и вычислении красивых интегралов (чтобы повыпендриваться!)
Мы начинаем мини-курс, который сосредоточен на визуальном восприятии идей комплексного анализа, а не на традиционном строгом подходе. Мы не коснёмся сильно продвинутых тем вроде теоремы Римана об отображении или теоремы Пикара, но получим уверенное базовое представление о предмете. (источник)

Художественный фильм «Не узел»

00:00 Определение узлов и зацеплений
02:18 Теорема Гордона—Люке о дополнении узла
03:20 Геометрия конических особенностей
04:38 Фундаментальная область
06:50 Переход от конуса к цилиндру
07:45 Дополнение колец Борромео
09:19 его фундаментальная область
10:56 переход к гиперболическому додекаэдру
13:23 истинное обличие
14:21 Жесткость Мостова—Прасада и геометризация Тёрстона

Также смотрите: «Флатландия» и «Форма пространства»

(источник + перевод)

Как понять лемму Йонеды

Изучая сложную тему, легко увязнуть в деталях и не увидеть лес за деревьями. Лемма Йонеды из теории категорий — идеальный пример. Но её изучение можно превратить из зубрёжки в увлекательное путешествие, если следовать структуре таксономии Блума.

А если хотите настоящей эффективности, сразу начинайте с пятого уровня и спускайтесь к первому!

Вот как может выглядеть освоение на каждом уровне:

Уровень 1: запоминание

Выучите формулу Nat(Hom(-, X), F) ≅ F(X) и значение всех используемых в ней символов

Запомните, что правило X→Hom(X,-) задает вложение C^op→Set^C в категорию предпучков

Уровень 2: понимание

• Объясните своими словами. Например:

Лемма (вложение) Йонеды утверждает, что объект любой категории полностью определяется информацией о том, как в него отображаются все остальные объекты

Формула гласит, что имеется биекция между значением заданного функтора и естественными преобразованиями из представимого функтора в заданный

• Проложите мосты, придумайте аналогии, подберите метафоры:

Скажи мне, кто твой друг, и я скажу, кто ты

Уровень 3: применение

Выведите из леммы теорему Кэли в теории групп

Выведите из леммы свойство вложения

Докажите лемму Йонеды

Уровень 4: анализ

Проанализируйте, какую роль играет условие естественности преобразования

Сравните ковариантную и контравариантную версии

Сравните лемму Йонеды с концепцией универсальных свойств

Уровень 5: оценка

На какой исследовательский вопрос отвечает лемма Йонеды?

Как в примере симплициальной категории (объекты: конечные ординалы; морфизмы: монотонные функции) утверждение леммы начинает играть новыми красками (вложение в категорию симплициальных множеств) и становится очевидным?

Является ли лемма Йонеды тривиальной, если её доказательство состоит всего из нескольких строк?

Насколько убедительно утверждение, что в математике объект определяется своими взаимоотношениями с другими объектами? Оцените философскую значимость леммы Йонеды

Проанализируйте роль и использование леммы Йонеды в контексте теории топосов

Уровень 6: синтез

Разработайте новый пример категории и функтора из этой категории в Set, который был бы непредставимым. Используя лемму Йонеды, постройте естественное преобразование из представимого функтора в ваш непредставимый функтор и опишите, какую информацию о структуре вашей категории это преобразование выявляет

Подумайте, можно ли в лемме Йонеды заменить категорию Set на другие обогащённые категории. Какие новые трудности возникают в этом случае?

Как может выглядеть версия леммы Йонеды для ∞-категорий?

Представьте, что вы разрабатываете курс по теории категории для начинающих математиков. Составьте образовательную траекторию, где кульминацией будет собственное открытие леммы Йонеды студентами

Придумайте способ визуализации леммы Йонеды (например, через диаграммы или геометрические образы)

Лемма Йонеды описывает морфизмы из представимого функтора. Исследуйте двойственное гипотетическое утверждение («лемму ко-Йонеды») о том, как морфизмы из объекта в объект сводятся к морфизмам из представимого функтора

Как бы вы стали объяснять лемму Йонеды? Делитесь в комментариях!

Открытая лекция

«Гипотеза о восстановлении графов: от классики до последних результатов»
Д. Карпов

25 декабря в 17:00
Наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311

Колода графа G — это набор D(G) из всех графов, которые получаются из G удалением одной его вершины. В 1957 году П. Келли предположил, что граф на хотя бы 3 вершинах восстанавливается по его колоде. Это утверждение, до сих пор в общем случае не доказанное, и называется Гипотезой о восстановлении графов. Будет рассказано о классических и современных результатах по гипотезе, а также о том, где может быть возможность для дальнейших продвижений.

Теорема Гаусса — Бонне

00:00 Формулировка
01:44 Отображение Гаусса и гауссова кривизна
04:36 Интиуитивный смысл теоремы
07:23 Идея доказательства
08:06 Параллельный перенос, геодезические и голономия
13:35 Отображение Гаусса сохраняет параллельный перенос
15:40 Сведение воедино
19:15 Обобщения

(источник)

Минимальные поверхности

00:00 Задача Плато
01:28 Силы, действующие на поверхность
03:36 Давление
08:40 Поток и средняя кривизна
11:06 Минимальность поверхности
13:36 Математическая модель
14:28 Решение задачи Плато
15:46 Применение в компьютерной графике

(источник)

Дифференциальная геометрия vs линейная алгебра

00:00 Понятие кривизны
01:57 Отображение Гаусса
05:59 Вторая квадратичная форма
07:43 Гауссова и средняя кривизны
11:12 Матричное представление второй квадратичной формы
14:33 Сведение воедино

(источник)

Блистательная теорема Гаусса

00:00 Формулировка
02:40 Кривизна
10:32 Площади сферических треугольников
17:34 Отображение Гаусса...
22:15 ...сохраняет геодезические
27:16 ...сохраняет параллельный перенос
31:46 На сфере голономия это площадь
36:43 Сведение воедино

(источник)

Гауссова кривизна – характеристика поверхности в точке, не меняющаяся при (изометрических, т. е. сохраняющих расстояния) изгибаниях поверхности. Знание этого понятия помогает при поедании пиццы (статья «Ломтик пиццы»), понимании картографических проекций (фильмы серии «Картографические проекции» и статья «Картографические проекции»), понимании, почему футбольный мяч составляют из разных панелей (статья «Футбольный мяч»).

Познакомиться с понятием гауссовой кривизны геометрически можно в новом сюжете «Гауссова кривизна» https://etudes.ru/etudes/Gaussian-curvature/ проекта «Математические этюды».