Теория категорий начинается с наблюдения, что многие свойства математических систем можно представить просто и единообразно посредством диаграмм, состоящих из стрелок. С их помощью можно «спрятать» кванторы и ненужные математические символы. Это более естественно: каждое математическое утверждение должно в первую очередь нести в себе некоторую идею
Когда вы изучаете теорию категорий, у вас в голове растут новые нейроны
В теории категорий, доказав одну теорему, вторую вы получаете в подарок. Определив одну конструкцию, вторую вы получаете в подарок
С точностью до эквивалентности, каждая категория — это структура, состоящая из своего скелета и некоторого «лишнего мяса»
Сейчас мы начнём подниматься на несколько уровней абстракции вверх. Раньше мы работали с конструкциями нулевого уровня, а именно, с математическими структурами и операциями в них. Затем мы определили конструкции первого уровня, а именно, объекты категорий и морфизмы между ними. Теперь же мы мысленно образуем новую категорию второго уровня, объектами которой будут являться категории. Чтобы придать этому понятию смысл, нужно дать определение функтора.
Категорная философия состоит в том, что, определяя математическую структуру, мы тут же должны сказать, что мы называем морфизмами между двумя такими структурами. Таким образом, после определения категории нам сразу же требуется ввести понятие морфизма категорий. Такой морфизм называется функтором. Функторы были впервые определены в алгебраической топологии, где они использовались как удобный инструмент для классификации топологических пространств.
Тот факт, что забывающий функтор Ab→Grp является полным вложением, показывает, что коммутативность группы — это свойство, а не дополнительная структура
Задать функтор из группы в Set — это то же самое, что и задать действие группы на множестве
Лемма Йонеды гласит: «Скажи мне, кто твой друг, и я скажу, кто ты»
Каждое естественное преобразование в каком-то смысле осуществляет категорную «деформацию», непрерывное преобразование
Содержание заметок:
• Мотивирующие конструкции
• Основные понятия и примеры
• Конкретные категории
• Изоморфизмы
• Скелет
• Универсальные объекты
• Категорные аналогии: отношения предпорядка, множества и моноиды
• Принцип двойственности
• Функторы и категория категорий
• Забывающие функторы
• Функторы конкретных категорий
• Функторные аналогии: монотонные функции, гомоморфизмы моноидов и группа преобразований
• Главный функтор Hom
• Естественные преобразования
• Категория функторов
• Естественность двойственности в линейной алгебре
• Свободные объекты
• Представимые функторы
• Лемма и вложение Йонеды, теорема Кэли
Бонус: внутри 94 примера и 68 упражнений разной сложности