Математика как практика

Как войти в математику

• Вход в проективную геометрию
• Вход в дифференциальную геометрию
• Вход в алгебраическую геометрию
• Вход в алгебраическую топологию
• Вход в теорию Галуа
• Вход в комплексную геометрию
• Вход в алгебраическую теорию чисел
• Вход в теорию модулярных форм
• Вход в гиперболическую геометрию
• Вход в голоморфную динамику
• Вход в теорию гомологий
• Вход в двумерную топологию
• Вход в теорию групп
• Вход в математический анализ
• Вход в геометрическую (маломерную) топологию

@geomtop24

перевод рецензии на книги (а сами книги — следующим сообщением):

Возможно, первый совет, который я получил от своего научного руководителя в аспирантуре по поводу занятий математикой, звучал так:
«Доказывать что-либо всегда легче, когда знаешь, что это правда».

Для меня это утверждение подчеркивает разницу между тем, как большинство из нас занимается математикой, и тем, как мы её представляем.

Когда мы публикуем доказательство, мы часто напоминаем фокусника, демонстрирующего свой последний трюк — гладкое, отточенное и красивое представление, которое (надеемся) впечатляет зрителей, вызывает у них восхищение зрелищем и уважение к нашему таланту. Мы движемся логическим крещендо от определений к леммам и затем к основной теореме, всегда следуя вперёд и вверх.

Однако на самом деле мы не занимаемся математикой таким образом. Наоборот, вероятно, точнее будет сказать, что мы начинаем с теоремы и работаем в обратном направлении:
«У меня есть результат, но я пока не знаю, как его получить».
— К. Ф. Гаусс

Все математики развивают своё интуитивное понимание задач и объектов, изучая примеры. Когда эта интуиция становится достаточно сильной, мы знаем результат ещё до того, как у нас есть его доказательство. А как только теорема сформулирована, мы приступаем к её доказательству. Можно утверждать, что математика давно устроена именно так: хотя она отличается от других областей знания своей доказательной строгостью, как практики мы не застрахованы от того, чтобы «испачкать руки» экспериментами — хотя мы обычно неохотно признаём это и стараемся, если возможно, скрыть.

Главный посыл этих двух книг заключается в том, что настало время принять эксперимент как часть математики, а не скрывать его. И теперь это возможно, потому что компьютер сделал широкомасштабный и систематический эксперимент реальностью.

Глубокая работа: как достичь пика эффективности

00:00 История Кэла Ньюпорта, PhD CS MIT
01:26 Почему вам нужна глубокая работа
03:07 Наладьте своё рабочее пространство
03:56 Выстройте таймбокс концентрации и не ломайте его
05:39 Объедините задачи одного когнитивного типа
06:20 Начните глубокую работу утром
06:26 Подготовьте буфер, чтобы не прерывать работу
06:37 Зафиксируйте ритуал начала глубокой работы
07:16 Научитесь спокойно сидеть в тишине
08:28 Совместите рутинные задачи с умственными
09:16 Выберите одну важную тему и работайте только над ней
09:38 Запишите все несущественные мысли и забудьте о них
09:57 Следуйте тактике: один вопрос + подвести итог
10:10 Откажитесь от неважных дел в пользу важных
10:38 Определите, что для вас важно
10:53 Научитесь распознавать малозначительные задачи
11:48 Заканчивая глубокую работу, составьте список дел и план
12:22 Чтобы отдохнуть, переключитесь на другой поток

(источник + перевод)

"Один человек из аудитории спросил меня, являются ли математики скорее «изобретателями» — то есть творцами нового мира, созданного их воображением,— или же «первооткрывателями» предсуществующей реальности. Я ответил, что, как и почти все математики, я скорее склоняюсь к платонизму и воспринимаю математику как реальность, независимую от нас, которая существовала в нас, но была сокрыта, укрыта покровом, и наша задача — обнажить её.

Однако, поразмыслив, я прихожу к выводу, что для характеристики деятельности математика (или, в более широком смысле, учёного, ищущего истину) существует слово более точное и куда более глубокое, чем «изобретатель» или «первооткрыватель», слово также полностью библейское, которое появляется в конце длинного отрывка из Гротендика, процитированного мною: математик — это слуга.

Слуга — это тот, кто заботится о чём-то ином, а не о себе: так же и математик, который в моменты погружения в математику теряет даже сознание собственного «я».

Слуга не решает: математик никогда не решает, что является истинным, но постоянно натыкается на сопротивление истины. Он прилагает усилия к истине, но не может её исказить, кроме как немедленно введя себя в заблуждение; он может лишь прилепиться к ней, повиноваться.

Слуга — это один из многих, и более того, он, по слову Христа, «раб неключимый»: то, что он делает, другой мог бы сделать на его месте. Точно так же математик чувствует себя крошечным перед лицом огромной традиции математики, лишь ничтожную часть которой он знает и которую ему было бы не под силу выстроить самостоятельно. Лучшее, на что он может надеяться, — это продвинуть её чуть-чуть вперёд, в то же время осознавая, что его работа будет быстро превзойдена, что многие другие способны сделать то же самое не хуже него и что они неизбежно сделают это однажды, если он сам не приложит к этому руку. Он также знает, что даже самые сложные проблемы покажутся лёгкими и перестанут впечатлять, как только будут решены в первый раз, так что любой прогресс, которого он добивается, растворяет, стирает и заставляет забыть о трудности, которую пришлось преодолеть.

Слуга не говорит, он слушает. Математик должен замолкнуть внутренне и прислушаться, напрячь своё существо, чтобы услышать столь тонкий и деликатный голос вещей, каковы они есть, и позволить руке бежать под их диктовку. Как это ни странно, но именно становясь слугой математических реальностей и их голосом, их переводчиком, математик реализует себя. Величайшие математические тексты одновременно и самые безличные — в том смысле, что каждый, читая их, испытывает глубокую эмоцию, видя, как из тумана невысказанного, строка за строкой, появляется нечто, что он всегда в себе носил, что жаждало быть высказанным и до сих пор не могло обрести выражения, — и самые личные — в том смысле, что сразу узнаёшь почерк их автора"

Лоран Лафорг
(перевод с французского)

Как я написал математическую статью

00:00 Начало работы
01:00 Взаимодействие с соавтором
02:54 Процесс написания
03:45 Тема статьи (цифровые топологические группы)
04:44 Ожидания и реальность
06:41 Отправка статьи в журнал
07:38 Рецензирование и доработка
09:43 Публикация

(источник + перевод)

Посещайте математические форумы

Участие в математических форумах — это ещё один хороший способ присмотреть активных ученых, творчество которых вам по душе. Такие интернет-пространства предназначены для изучения, обсуждения и создания современной математики. Наиболее знаменитым форумом профессиональных математиков является сайт вопросов и ответов MathOverflow. Изучая оставленные там ответы, вы можете не только существенно развить свой математический кругозор, но и ознакомиться с личными качествами и индивидуальным взглядом на математику их авторов. Со временем вы наберётесь достаточно знаний и опыта, чтобы подключаться к дискуссиям, и тем самым выведите своё взаимодействие с потенциальными научными руководителями на новый уровень

MathModern — рускоязычный Telegram-форум для математиков

Прислушивайтесь к старшим товарищам

Студенты старших курсов и аспиранты вашего факультета сталкивались с теми же проблемами поиска научного руководителя, что и вы. Вы можете попросить их рассказать о своей текущей ситуации, спросить о результатах работы со своими руководителями и попросить совета в установлении контактов. Кроме того, наиболее опытные товарищи, разделяющие ваши научные интересы, могут во многом заменить вам научного руководителя

Летний математический лекторий — курсы, ваши и для вас

Посещайте научные школы и конференции

Краткосрочные научные мероприятия — это центр притяжения действующих ученых, прибывающих со всех концов страны и мира. Участие в научных школах и конференциях позволяет как получить представление об уникальных математических направлениях из первых рук, так и расширить свои социальные связи. Неформальная атмосфера, сопровождающая такие мероприятия, позволит вам пообщаться с широким спектром математиков и обдумать вашу потенциальную совместимость с ними в плане научного руководства

ПОМИ РАН — математические мероприятия Петербурга

Изучайте недавние научные результаты

Не все хорошие учёные являются хорошими руководителями, но все хорошие руководители являются хорошими учёными. Они активно публикуют результаты своих исследований в Интернете, поэтому просмотр статей последних лет — это отличный способ поиска научного руководителя, разделяющего ваши научные интересы. Изучая статьи по захватывающим вас направлениям, вы не только развиваете свои компетенции и математический кругозор, но и присматриваете математиков, творчество которых привлекает. В дальнейшем вы сможете связаться с ними, чтобы представиться, выразить свой интерес и обсудить возможность научного руководства

Посещайте научные семинары

Существенная часть ученых-математиков, не обременённых преподавательской нагрузкой, регулярно посещает научные семинары, относящиеся к их исследовательской деятельности. Активное участие в таких семинарах — это не только возможность познакомиться с множеством различных областей современной математики и построить ментальную карту того, что люди изучают в настоящее время, но и воочию увидеть выступления действующих ученых. Это отличный шанс присмотреться к потенциальным руководителям, позволяющий естественным образом влиться в научную среду, расширить свой круг общения, сформировать научные интересы и цели и, в конце концов, стать принятым математиком

Где искать научного руководителя

Выбор правильного научного руководителя имеет решающее значение для успеха начинающих математиков, однако многие из них даже не догадываются о том, что существенная часть потенциальных руководителей скрыта от глаз студентов. Прибиться к случайной группе, решающей упражнения из стандартного учебника под руководством лектора с вашего потока, — это далеко не единственный рабочий вариант! #выборнаучногоруководителя

Вот несколько эффективных подходов, которые помогут вам составить список потенциальных научных руководителей, соответствующих вашим научным интересам.

Научное руководство — это, в первую очередь, традиция передачи знаний и опыта от сложившихся ученых начинающим. По существу, научным руководителем может быть любой достаточно компетентный и готовый к этому математик. Вот где их взять:

• Посещайте научные семинары
• Изучайте недавние научные результаты
• Посещайте научные школы и конференции
• Прислушивайтесь к старшим товарищам
• Посещайте математические форумы

(источник)

Мой глупый вопрос

Саган отмечает, что «есть наивные вопросы, скучные вопросы, неверно сформулированные вопросы, вопросы, заданные после неадекватной самокритики. Но каждый вопрос — это призыв понять мир. Не существует такого понятия, как глупый вопрос», т. е. любой вопрос — это не свидетельство отсутствия ума (глупость), а лишь незнание и желание устранить это незнание. Однако часто мы слышим фразу, ставшую, по сути, идиомой: «Не задавай глупых вопросов». Так есть или нет понятие «глупый вопрос»? Можно ли охарактеризовать его признаки? Какую функцию он выполняет в процессе коммуникации? (источник)

Вопрос — грусть или радость? Ответ — обретение или утрата?

Мифы и рабочие методы эффективного обучения

00:00 Стили обучения и теория VARK: визуалы, кинестетики и тп
03:07 Экспериментальная проверка теории
07:52 Важность персонализированного обучения
11:02 Как использовать мультимодальный подход
12:00 Как сделать своё обучение активным

Когда речь заходит про обучение, в какой-то момент обязательно вспоминают теорию о стилях обучения: некоторым удобнее воспринимать информацию на слух, кто-то лучше запоминает визуальные образы, а кому-то обязательно попробовать сделать всё самостоятельно. В новом видео Дерек расскажет, откуда взялась эта идея и есть ли ей научное подтверждение.

(источник)

Чем интересны математические исследования

0:00 В чём истинный смысл работы математика
0:53 Как найти задачу для исследования
4:46 Как начать работу над проектом/задачей
7:10 Что делать, если я застрял: приёмы и методы
9:49 В чём польза возврата к старому материалу

(источник + перевод) @geomtop24

Счастливая карьера в математике

00:00 Как Рави стал алгебраическим геометром
03:56 В чём важность школьных учителей
06:37 Как поставить себе задачу для исследования
12:16 Как написать письмо любимому профессору
18:32 О страсти к математике и том, как правильно испугаться
25:01 Как выстроить вокруг себя сообщество
28:54 Математика в СССР: сказка или антисемитизм
31:33 Что важнее: целостная картина или детали
39:15 Как изучать математику, отталкиваясь от задач
41:05 Как разные профессии и навыки высвобождают пар
48:20 Кому стоит присмотреться к прикладной математике
52:35 Как слушать математические доклады
59:18 Три совета начинающим математикам

(источник + перевод) @geomtop24

Руководство для исследователя: чему учит опыт PhD

• Упражняйтесь во внешнем цикле
• Развивайте вкус
• Заготовьте плодородную почву
• Соответствуйте интересам и сильным сторонам вашего руководителя
• Будьте амбициозны: сублинейный рост сложности
• Амбициозность не без подхода к задаче
• Человек, который сделал X
• Негативные примеры
• Ценные навыки
• Пример: моя диссертация
• Не играйте по правилам

(источник)

Чем интересны науки об обучении

У исследовательских вопросов есть структура в виде нескольких слоёв. В традиционном образовании эти слои сжимаются вместе и представляются ученику одновременно, что создаёт нетерпеливое решение задачи. Важно соблюдать данную структуру.

По моему опыту, умение работать с этими слоями является мощным предиктором усвоения материала. Когда мы задаём себе правильные вопросы перед тем, как получить на них ответы, нам существенно проще запомнить, понять и применить сами ответы

На втором видео дан крутой пример того, как можно на практике естественным образом обеспечивать сохранность данной структуры (источник)

Искусство задавать себе правильные вопросы

Изучение математики — это не про запоминание фактов. Это про понимание идей. Один из самых мощных приёмов, который перенесёт вас из пассивного читателя в активного мыслителя, — это задавать правильные вопросы с самого начала.

Столкнувшись с новой теоремой, сразу спросите себя:

• На какой исследовательский вопрос отвечает эта теорема?
• Какую проблему она закрывает?
• Какую дверь в неизведанное она, наоборот, открывает?

Задавая себе подобные вопросы, вы прекращаете принимать теорему как данность и начинаете оценивать её место в общей картине науки. Таким образом вы сразу переходите на пятый уровень мышления в таксономии Блума.

Вы пытаетесь понять:

• Какие концепции в теореме являются ключевыми, а какие второстепенными?
• Что было до неё? Какой пробел она заполнила?
• Почему она была революционной тогда и полезна сейчас?
• Что побудило автора теоремы заниматься ей?

Пример:

Изучая теорему Гёделя о неполноте, спросите себя: «Какой фундаментальный вопрос о пределах познания волновал математическое сообщество во времена Гильберта? И как ответ Гёделя перевернул эти представления?»

Так вы не просто выучите теорему, а поймёте её исторический контекст и философскую глубину.

Итак, ваш алгоритм действий: #чтение

1. Пропустите уровень зубрёжки
2. Сразу спросите: «На какой главный вопрос это отвечает?»
3. Ищите контекст: история создания, биография автора, предшествующие работы. Это не лишнее, а ключевое!
4. Реконструируйте ход мыслей: попробуйте гипотетически восстановить тот путь, который мог бы привести к этому открытию

Так вы начнёте видеть математику не как набор разрозненных фактов, а как живую, развивающуюся науку, где каждая идея — это ответ на большой вызов. Это не только глубже погружает в предмет, но и делает его изучение по-настоящему увлекательным.

Попробуйте этот метод на следующей же теореме, которую встретите, и поделитесь своими открытиями в комментариях!