Math Atlas 101

Преподавая, ты имеешь возможность обдумывать всякие элементарные, очень хорошо тебе известные вещи. Это и занятно, и приятно. От того, что ты обдумаешь их еще раз, вреда никакого не будет. Не существует ли лучшего способа их изложения? Или связанных с ними новых проблем? А сам ты не можешь ли придумать в связи с ними чего-то нового? Размышлять о вещах элементарных легко; не надумаешь ничего – нового, не беда, твоим студентам сгодится и то, что ты думал об этих вещах прежде. А если все-таки надумаешь – получаешь удовольствие от того, что сумел взглянуть на старое по-новому.


Р. Фейнман ("Вы, конечно, шутите, мистер Фейнман!")

Гиперболические изометрии плоскости Лобачевского

Проективное преобразование RP^1 называется гиперболическим, если оно имеет ровно две неподвижные точки

Параболические изометрии плоскости Лобачевского

Проективное преобразование RP^1 называется параболическим, если оно имеет ровно одну неподвижную точку

Сужения изображенных далее изометрий круга на граничную окружность являются проективными преобразованиями проективной прямой RP^1

Эллиптические изометрии плоскости Лобачевского

Проективное преобразование RP^1 называется эллиптическим, если оно не имеет неподвижных точек

Как визуализировать проективные преобразования проективной прямой RP^1

1. Такие преобразования однозначно определяются образом трёх различных точек (красных)

2. Группа PGL(2,R) проективных преобразований проективной прямой RP^1 изоморфна группе Isom(H^2) изометрий плоскости Лобачевского — круга с гиперболической метрикой

Вещественная проективная прямая RP^1 гомеоморфна окружности S^1
//проследите за точками пересечения линейных прямых и указанной окружности

Знакопеременная подгруппа A_5 группы SO(3) в модели в трёхмерном шаре с антиподальным порталом

Вершины многогранников представляют элементы группы. Центр шара — нейтральный элемент, а вершины одного и того же многогранника образуют отдельные классы сопряженности в A_5

Напомним, что действие элемента группы A_5 на R^3 представляет собой поворот вокруг прямой, идущей из центра шара в соответствующую вершину, на угол, равный расстоянию от центра до этой вершины

Обозначения:
▪️Серая сфера радиуса \pi — граница шаровой модели для SO(3).
▪️Желтый икосододекаэдр радиуса \pi — класс сопряженности (2,2)-циклов. Вершин 30, но ввиду портала получается 15 элементов.
▪️Фиолетовый и красный икосаэдры радиусов 4\pi/5 и 2\pi/5 представляют половину расщепимых 5-циклов, каждый из 12 элементов.
▪️Зелёный додекаэдр радиуса 2\pi/3 представляет класс сопряжённости 3-циклов и состоит из 20 элементов.

Итого: 1+15+12+12+20=60 элементов в A_5

P. S. Единственный нетривиальный внешний автоморфизм группы A_5 меняет два икосаэдра местами (ссылка)

(6/8) Такая кодировка вращений неоднозначна, однако единственная неоднозначность состоит в том, что повороты на углы -π и π, совершаемые вокруг одной и той же прямой, совпадают

Таким образом, пространство SO(3) гомеоморфно пространству, получающемуся из трёхмерного шара отождествлением пар противоположных точек на граничной сфере, то есть трёхмерному проективному пространству RP^3

(5/8) Если сохраняющее ориентацию движение евклидова пространства R^3 имеет неподвижную точку, то оно является поворотом вокруг некоторой прямой (теорема Эйлера о поворотах)

Чтобы задать такой поворот, можно указать вектор, порождающий соответствующую прямую, длина которого равна величине желаемого узла поворота, измеряющегося от -π до π

Итого, вращения, т.е. элементы группы SO(3), можно кодировать точками трёхмерного шара радиуса π

Вид изнутри проективного пространства: изображены пол (=потолок), стены, рыцарь и птица

Трёхмерное проективное пространство RP^3 как факторпространство трёхмерного шара B^3 по отношению, при котором на граничной сфере отождествляются пары диаметрально противоположных точек

Трёхмерная сфера и проективное пространство (5/5)

Таким образом, пространство, получающееся из S^3 отождествлением антиподальных точек, гомеоморфно пространству, получающемуся из трёхмерного шара отождествлением пар диаметрально-противоположных точек на его граничной сфере

Это в точности проективное пространство RP^3

На рисунке указаны петли в S^3 (верхняя часть изображения) и их образы относительно канонической проекции на RP^3 (нижняя часть)

Трёхмерная сфера и проективное пространство (4/5)

Если точка трёхмерной сферы попадает в один шар, то её антипод (диаметрально-противоположная точка) — в другой. Кроме того, у точек, лежащих на экваториальной сфере (т. е. на самом портале), антипод лежит на этой же сфере (и на рисунке выглядит по-настоящему диаметрально-противоположным)

Двумерный аналог: ссылка

Трёхмерная сфера и проективное пространство (3/5)

Получается модель трехмерной сферы, состоящая из пары шаров со сферическим порталом-телепортом

Трёхмерная сфера и проективное пространство (2/5)

Аналогично трёхмерная сфера S^3 делится экваториальной сферой S^2 на два трёхмерных шара. (Экваториальная сфера является общей границей этих шаров.)

Трёхмерная сфера и проективное пространство (1/5)

Двумерная сфера S^2 делится экваториальной окружностью S^1 на два диска. Такое разложение позволяет воображать сферу в своего рода модели, состоящей из пары дисков и портала между ними

Как устроена математика: от детского восприятия до секретов великих исследований

00:00 Нелинейный путь в математике
02:44 Загадка математиков
06:25 Метод Гротендика: включаем взгляд ребёнка
11:10 Подход к математике отличается у мальчиков и девочек
15:56 Что меня затриггерило (кликбэйт!)
21:02 Что сделало Ричарда математиком
26:10 Озарения vs скучные доказательства
28:36 Математика субъективна
29:38 Процесс математического исследования
34:46 Что мешает получать удовольствие от исследований
37:23 Что студентам важно знать
43:23 Самая сложная часть исследований
47:06 Неуверенность в себе у математиков
50:49 Психология занятий математикой
54:25 Представители меньшинств в математике
1:00:44 Математика во время землетрясения

(источник + перевод)

Преобразования Мёбиуса

02:26 Инверсия в 2D (относительно окружности)
08:31 Свойства инверсии
14:21 Инверсия в 3D (относительно сферы)
19:26 Преобразования Мёбиуса как движения сферы Римана
22:37 Гиперболическая геометрия
23:12 Комплексная геометрия
23:24 Математическая физика

(источник)

Дробно-линейные преобразования (Мёбиуса)

00:11 Параллельные переносы
00:17 Растяжения
00:23 Повороты
00:27 Инверсии

Также известные как проективные преобразования комплексной проективной прямой и также известные как... (источник)

(2/4) Доказательство без слов (источник)