Геометрия от Волчкевича

Равные площади

Эта задача про четырехугольник замечательна как общностью своей формулировки, так и подходами к ее решению. Ее можно решить классическим способом, а можно через линейную функцию. Попробуйте это сделать.

Останется ли утверждение задачи верным, если четырехугольник будет невыпуклым?

Краткие решения пишите в комментариях.

Звезды в кристалле. Решение

Данное утверждение про выпуклый пятиугольник очень трудно доказать ( да и заметить) без соображений проективной геометрии. Просто потому, что у произвольного выпуклого пятиугольника слишком много степеней свободы для доказательства через вычисления.  А данный факт прямо связан с теоремой Брианшона и с эллипсом, который можно вписать в такой пятиугольник. Удивительно, что точки касания его со сторонами пятиугольника строятся одной линейкой. Эти точки и являются вершинами зеленой звезды в кристалле.
    Должен заметить, что идея правильного решения была лишь в одном комментарии к этой задаче. И особенно приятно, что написал его человек,  которого я в школе учил геометрии :)

Храмовая лестница. Решение

Судя по числу комментариев, вчерашняя задача вызвала интерес. Среди данных ответов даже были близкие к правильному. Высоту ступени можно оценить на глаз — и ошибка будет невелика. Разумно считать, что ступеньки не выше 30 см, иначе ходить по этой лестнице будет тяжело.

Моя фигура на фото занимает 10 ступенек. Однако из этого не следует, что высота одной равна 17,5 см — видно, что верхние ступеньки там становятся все меньше. Связано это со свойствами перспективы.
Сделаем важное наблюдение: горизонтальные площадки 1—4 ступенек на фото видны хорошо, пятая уже плохо, а шестая и следующие не видны. Из этого следует, что камера была примерно на высоте шестой ступени.
Перспектива сохраняет двойное отношение четырех точек. На фото такие удобные точки — это 1, 6, 8 и 11 ступени. На самой лестнице их двойное отношение равно 7/4. Это позволяет найти высоту ступени — она будет примерно равна 24 см. Камеру же держали на высоте 144 см над площадкой.

Решение задачи на рисунке.

Храмовая лестница

Правитель одного из островов Индонезии в XlX веке построил себе в горах для медитаций водные сады со статуями, лестницами, павильонами и бассейнами. Бассейны нужны были для купания и разведения карпов — их там и сейчас великое множество.

На вершине холма скрыто святилище со статуями Брахмы, Вишну и Шивы. Нам поведали, что в индуизме это проявления одного Божества: силы созидания, сохранения и разрушения. Этим силам соответствуют стихии огня, воды и ветра. Меня сфотографировали на одной из лестниц, идущих к такому святилищу.

Определите по данному фото высоту ступени храмовой лестницы с точностью до 1 см.

С какой высоты над горизонтальнной площадкой перед лестницей сделано это фото?

Для решения задачи вам понадобится знать мой рост — в обуви он составляет 175 см.

ЛЕТО
Вот и наступило лето красное: жаркое, душное, грозовое... Разнотравье, бабочки, комары и кукушки, ягоды да грибы, запах нагретых сосен, скошенной травы и речной воды. Все экзамены сданы, оценки получены, впереди каникулы и свобода. Лето для русского человека - это долгожданное время года, которое пролетает так быстро...
На нашем канале тоже начинается летняя сиеста - отдыхайте и набирайтесь сил. И пусть это стихотворение будет вам в подарок :)

Наибольший периметр. Решение.
Задачи о наибольшем периметре выпуклого многоугольника, образованного свободными концами нескольких отрезков, выходящих из точки О, имеют один подход. Он основан на вариационном принципе.
Оказалось, что наибольший периметр такого многоугольника будет, если точка О является центром вписанной в него окружности. Для четырех отрезков с длинами 5, 5, 5 и 4 он дает периметр 27. А для трех отрезков с длинами 1, 2 и 3 сводится к кубическому уравнению, которое само по себе получить не просто. Как это можно сделать, читайте на рисунке.
Вариционный метод в данном случае можно смело применять, так как при движении отрезков периметр треугольника меняется непрерывно, а сама числовая функция имеет ограничение: легко показать, что периметр треугольника всегда меньше удвоенной суммы данных отрезков.

Наибольший периметр. Продолжение.

Задачу про наибольший периметр выпуклого четырехугольника, предложенную в предыдущем посте, решили многие читатели нашего канала. Ответ в ней — целое число, а нужный четырехугольник имеет ось симметрии. Свое решение этой задачи я выложу чуть позже, а пока предлагаю подумать над аналогичной задачей для треугольника. В отличие от предыдущей, она более сложна технически и в общем случае сводится к кубическому уравнению. Поэтому ответ в ней достаточно получить приближенно, с точностью до 0,01.

Этой задаче легко найти физическую формулировку: если три стержня с с определенными длинами скрепить на одном конце шарниром, а через отверстия на их свободных концах продеть резиновое кольцо, то длина растягиваемой стрежнями резинки в некотором положении будет наибольшей. Чему равна такая длина и когда достигается? Как обычно, ответы пишите в комментариях.

Наибольший периметр

Продолжаем серию задач на наибольшие и наименьшие значения.
Если четыре отрезка с данными длинами выходят из одной точки, их свободные концы могут образовать как выпуклый, так и невыпуклый четырехугольники.
Для отрезков с длинами 4, 5, 5 и 5 невыпуклый четырехугольник может иметь периметр сколь угодно близкий к 38 — его стороны тогда почти лежат на одной прямой.
А чему равен наибольший периметр выпуклого четырехугольника?
Ответы пишите в комментариях.

Постоянный угол. Решение.

Если ВН — высота треугольника АВС и произвольный отрезок МК с концами на его сторонах АВ и ВС виден из точки Н под прямым углом, то существуют еще две точки на плоскости, из которых все такие отрезки видны под постоянными углами. Одной из них, очевидно, является вершина В самого треугольника.
А вот где находится третья точка?
Удивительно, но эта задача оказалась связана с окружностями, вписанными в треугольники, биссектрисами и общими внутренними касательными к этим окружностям. Третью точку О нужно взять так, чтобы для треугольника АОС вершина В была центром вписанной в него (или вневписанной) окружности.
В случае равностороннего треугольника АВС точка О будет четвертой вершиной ромба АВСО, и тогда из нее любой такой отрезок МК будет виден под углом 30 градусов. Так мы получим задачу с двумя ромбами — даже она оказалась совсем не очевидной. В общем же случае сумма или разность углов МВК и МОК будет равна 90 градусов.
Решение можно прочесть на рисунке.

ЕГЭ ++

На прошлой неделе в России прошел единый экзамен по математике. Судя по отзывам, задачи по геометрии на нем стали проще, чем в прошлые годы. И, наверное, это правильно, так как раньше полностью их решало не больше 1% всех участников экзамена. Результаты этого года еще не получены — их детальный разбор впереди.

А пока я предлагаю вам задачу в таком же формате, но значительно сложнее. Ее частным случаем является задача с двумя ромбами, которую я выложил две недели назад. Даже она, если судить по предложенным решениям, оказалась совсем не простой.
Пишите свои ответы и решения в комментариях.

Открытый урок

В прошлую пятницу я провел открытый урок в православной Свято-Петровской гимназии на Китай-городе. Ребята там занимаются по моим учебникам — и со слов их замечательного учителя Юлии Васильевной Ерохиной, делают это с большим удовольствием.

Урок был с восьмиклассниками, поэтому мы разбирали задачи с окружностями и касательными. Первую из них я лет 10 назад предложил для Московской олимпиады — надо отметить, что многие ребята быстро с ней справились. Другие задачи похожи на первую тем, что в них тоже нужно заметить равные треугольники, и тогда решение выходит простым и красивым. Ребята одну из этих задач получили на дом. Кроме этого, на уроке мы разобрали японскую формулу об отрезке общей касательной и её изящные применения.
Несколько учеников попросили у меня автограф — прямо на обложки своих тетрадок в клеточку ))
На урок пришли учителя из других православных гимназий, потом у нас с ними получился интересный и содержательный разговор о современном образовании.

Два ромба

Вот моя новая задача по планиметрии, которая при всей простоте формулировки совсем не так проста. Более того, она является красивым частным случаем гораздо более общего утверждения, из которого следует.
Само это утверждение и метод его получения я пока не публикую, поэтому пишите свои решения в комментариях. Мне интересно, насколько легко можно доказать данный факт.

Контрольная на касательные.
Выкладываю свою контрольную работу на касательные для 7 класса. Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.
По программе математической вертикали окружности и касательные к ним первый раз проходятся в 7 классе, а второй раз через год – во второй половине 8 класса. Это дает некоторую свободу выбора для учителя и, как нам кажется, способствует лучшему усвоению материала учениками.

Номер три.

В одном из американских университетов на 1 апреля студенты придумали отличную шутку: они пустили бегать по кампусу трех свиней с номерами 1, 2 и 4 на спинах. Администрация распорядилась свиней поймать, что и было сделано. Однако никак не удавалось изловить свинью с номером 3: ее искали целый день, но так и не поймали. Что совсем не удивительно, ведь ее просто не было.

Как это связано с нашим каналом? На прошлой неделе я выложил свои презентации 1, 2 и 4 по подготовке к задачам 17 профильного ЕГЭ, поэтому у одного из читателей возник естественный вопрос: куда пропала аналогичная презентация с номером 3? Ведь ЕГЭ 2024 не за горами. В отличие от замечательной первоапрельской свиньи, я нашел эту презентацию и выкладываю её сейчас. Ведь сегодня уже не первое апреля.

Три центра

Как известно, высота разбивает прямоугольный треугольник на подобные ему меньшие треугольники. С этим фактом связано одно из доказательств теоремы Пифагора, а также множество интересных задач. Одну из них я недавно придумал для своего 9 класса и теперь предлагаю вашему вниманию. Потом оказалось, что доказать данный факт можно даже без подобия, теорем Пифагора и синусов:)

Выкладываю свою контрольную работу на окружности для 7 класса. Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня учеников.

Шар в пирамиде

На Олимпиаде им. Курчатова в 11 классе была предложена моя задача про шар, вписанный в четырехугольную пирамиду. Её решение элементарно и основано лишь на равенстве касательных к шару из точки, равных треугольниках и теореме Пифагора.
Однако существует красивая связь подобных задач с эллипсами, которые вписаны в основания таких пирамид. Это позволяет получать как интересные утверждения про пирамиды, в которые можно вписать сферу, так и про свойства эллипсов, вписанных в их основания. Например, оказывается, что основание шестиугольной пирамиды (а тем более, пирамид с большим числом граней) не может быть произвольным шестиугольником.
Как это объяснить, вы можете прочесть на рисунке.

ЕГЭ - задача 17.
Выкладываю еще одну презентацию по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена планиметрическим задачам на разные методы: подобие, вписанные углы и площади.

ЕГЭ – задача 14
Выкладываю следующую презентацию к вебинару по подготовке к профильному ЕГЭ. Она посвящена задачам 14 по стереометрии второй части прошлых лет на параллельные и перпендикулярные сечения в кубе, пирамиде и призме, нахождение расстояний от точки до плоскости и расстояний между скрещивающимися прямыми.

На прошлой неделе число подписчиков нашего канала перевалило за 5000. Это гораздо больше числа всех звезд, которые может без телескопа разглядеть один человек.
Отметить этот рубеж я решил своим давним стихотворением. Канал наш посвящен геометрии, потому и стихотворение будет о ней - науке древних мудрецов и звездочетов, ночном саде и небе над головой.