Наибольший периметр. Решение.
Задачи о наибольшем периметре выпуклого многоугольника, образованного свободными концами нескольких отрезков, выходящих из точки О, имеют один подход. Он основан на вариационном принципе.
Оказалось, что наибольший периметр такого многоугольника будет, если точка О является центром вписанной в него окружности. Для четырех отрезков с длинами 5, 5, 5 и 4 он дает периметр 27. А для трех отрезков с длинами 1, 2 и 3 сводится к кубическому уравнению, которое само по себе получить не просто. Как это можно сделать, читайте на рисунке.
Вариционный метод в данном случае можно смело применять, так как при движении отрезков периметр треугольника меняется непрерывно, а сама числовая функция имеет ограничение: легко показать, что периметр треугольника всегда меньше удвоенной суммы данных отрезков.