Геометрия от Волчкевича

Сфера в пирамиде

Выкладываю элементарное решение задачи по стереометрии с прошедшей олимпиады им. Курчатова. Оно опирается лишь на равенство отрезков касательных, проведенных к шару из точки, и на равенство треугольников.
Тем же способом можно доказать, что у пирамиды, описанной около шара, в основании которой лежит параллелограмм, всегда равны суммы площадей противоположных боковых граней. Такая задача предлагалась на олимпиаде Шарыгина в 2009 году, но опубликованное там решение более громоздко и не так красиво.
В следующем посте я расскажу о связи этой задачи с коническим сечением.

Подготовка к ЕГЭ

Выкладываю свою вторую презентацию к вебинару подготовки к профильному ЕГЭ по геометрии.
Она также посвящена задаче 17 второй части этого экзамена. На ней я разбираю решения задач прошлых лет, а в начале даю несколько упражнений на произведения отрезков хорд и секущих в окружности. В конце можно найти 4 задачи для самостоятельного решения.

Сфера в пирамиде.

Предлагаю вашему вниманию мою новую задачу по стереометрии. Ее решали одинадцатиклассники на прошедшей олимпиаде им. Курчатова.
Много ли было из них решивших, сказать пока трудно, — задача эта сложная. Зато она имеет красивую идею и ответ. А кроме того, интересна ее связь с коническими сечениями. Но для решения самой задачи понимать это не обязательно :)
В комментарии, как обычно, пишите свои ответы.

Найти угол. Решение.

Выкладываю свое решение задачи с олимпиады Курчатова. В комментариях ко вчерашнему посту прислали несколько хороших и разных ее решений, одно из которых совпадает с этим.
Я считаю, что олимпийская задача вполне может быть с ответом — это сильно упрощает проверку. По той же причине многие школьные задачи (особенно на контрольных работах) дают на поиск ответа — так проще и функциональнее.
Проверка задач на доказательство утверждений требует от учителя времени, которого в большом классе на уроке всегда не хватает. К тому же часто бывает еще нужно убедить ученика в том, что доказательства у него нет, а получение неверного ответа убеждает сразу.

Найдите угол

Хорошую задачу по геометрии для 7 класса придумать всегда непросто. Вот одна из моих хороших новых задач, которую предлагали школьникам на олимпиаде им. Курчатова неделю назад. Пишите ответы и решения - авторское я выложу завтра.

Не в качестве рекламы :)

Не могу не сказать о том, что в эту среду 17 апреля на онлайн-лектории для учителей будет выступать Дмитрий Викторович Швецов. Во-первых, Дима — прекрасный лектор, во вторых — его доклад будет посвящен геометрии, а в третьих — моим задачам.
Регистрация по ссылке: https://forms.gle/W9GGTPgpe1BK4mTu6

Я придумываю задачи уже много лет просто потому, что это интересно, а часто и очень красиво. Первая была опубликована журналом Квант, когда я еще не закончил школу. Потом было много задач для разных олимпиад, а в последнее время я придумываю их для своих учебников. Уж не знаю, какие из них Дмитрий отобрал для своей лекции, но не сомневаюсь — подаст он их лучше меня.
А пару из последних своих так называемых шедевров я выложу в канале на этой неделе. Их школьники решали на олимпиадах им. Курчатова и Шарыгина, которые прошли в последние два воскресенья.

Подготовка к ЕГЭ

Вчера я провел первый вебинар от ЦПМ по геометрическим задачам второй части профильного ЕГЭ. Сложно сказать, много ли было на нем слушателей, — их присутствие не отражается на мониторе. Не обошлось и без технических накладок, как же без этого?

Выкладываю здесь свою презентацию к этому занятию — она посвящена задачам второй части ЕГЭ на вписанные углы и обобщенную теорему синусов. Данная теорема является мощным инструментом для вычисления хорд и радиусов окружностей в планиметрии. Такие задачи на ЕГЭ встречаются довольно часто — я разбираю 5 задач прошлых лет на эту тему и в конце даю еще 4 задачи в качестве домашнего задания. Все они с хорошими ответами :)

Задача с тремя кругами.

Выкладываю решение задачи с тремя кругами, накрывающими треугольник. Равносторонний треугольник ими накрыть нельзя, но равнобедренный с углом 90 градусов можно. А вот точек треугольника, которые будут накрыты сразу тремя такими кругами, не существует. Я это доказываю с помощью красивого дополнительного построения. Но один мой ученик придумал доказательство, основанное на том, что минимальная сумма квадратов от точек плоскости до вершин треугольника достигается в центре его масс. Из этого легко получить, что центр масс треугольника не будет накрыт хотя бы одним из данных кругов.
Решение можно прочитать на рисунке.

Квадрат на сетке.

Выкладываю решение задачи о квадрате на клетчатой бумаге. Интересно,что его площадь не является целым числом и равна 14,4 клеток.
На диагоналях этого квадрата лежат 4 узла сетки. Такой квадрат можно легко построить одной линейкой, а как это сделать, читайте на рисунке.

Три круга

Предлагаю новую задачу по комбинаторной геометрии. Нарисуем три круга в вершинах треугольника, радиусы которых составляют 0,57 от длин его противоположных сторон. Могут ли эти круги накрыть весь треугольник? Легко проверить, что для правильного треугольника
это не так.
Могут ли быть точки, которые накрыты сразу тремя такими кругами?
Ответы пишите в комментариях.

Добежать до границы.

Выкладываю решение задачи о множестве точек внутри полукруга, одинаково удаленных от его границ. Все такие точки лежат на параболе, проходящей через концы диаметра полукруга и делящей его высоту пополам. Причем аналогичный факт верен не только для полукруга, но и для любого кругового сегмента. Доказать его можно даже без теоремы Пифагора и уравнений, пользуясь геометрическим определением параболы.
Интересно, что дойти от взятой произвольно точки полукруга до его периферии более вероятно, чем до диаметра. Эти вероятности относятся примерно как 19 :14.
Решение можно прочесть на рисунке.

Квадрат на сетке

На знакомой всем бумаге в клеточку можно нарисовать квадраты с вершинами в ее узлах, стороны которых идут как по линиям клетчатой сетки, так и под углом к ним. Площади таких квадратов выражаются целым числом клеток.

Интересно, что на такой бумаге одной линейкой также можно рисовать квадраты, у которых все стороны проходят через узлы сетки, а площади не являются целыми числами. Один из таких квадратов показан на рисунке.

Как нарисовать такой квадрат одной линейкой? Чему равна его площадь?

Альбом подвижных чертежей к сборнику задач М.А. Волчкевича «Уроки геометрии в задачах. 7–8 классы» (М.: МЦНМО, 2017) создан на базе программы динамической геометрии GeoGebra.
В альбоме более 160 подвижных чертежей, каждый из которых иллюстрирует одну из задач сборника. Альбом охватывает почти все темы 7–8-х классов, иллюстрируются те задачи, в которых динамика чертежа создает дополнительные учебные возможности.

Основные типы использования подвижных чертежей:
• демонстрация факта, явно сформулированного в задаче;
• открытие факта, подразумеваемого в задаче;
• исследование — перебор возможных вариантов;
• интерактивная презентация —
решение задачи, демонстрируемое по шагам.

Альбом подвижных чертежей доступен по ссылке:
geogebra.org/m/kyudvqfx
Чертежи можно копировать, демонстрировать на экране, выдавать школьникам в качестве задания и т.д.

Подвижные чертежи

В следующем посте будут ссылки на коллекцию подвижных чертежей, которые к моему зеленому задачнику в программе Geogebra сделал замечательный преподаватель Алексей Сгибнев из школы Интеллектуал.
Эти чертежи можно показывать на электронной доске или на мониторе компьютера — они привлекают внимание школьников и мотивируют их решать эти задачи. Я считаю, что такие чертежи — это отличный элемент индуктивного образования, когда из опыта у ребят все сначала возникает гипотеза, а уже потом находится решение или доказательство.

Дойти до границы.

Если вы стоите внутри круглой арены цирка и хотите побыстрее ее покинуть, сразу понятно, куда нужно бежать — по радиусу круга, на котором вы находитесь. Если же вы хотите из данной точки быстрее достичь прямой линии, как известно, идти нужно по перпендикуляру к ней.
А что делать, если вы оказались внутри половины круга? Куда следует бежать: к его диаметру или к дуге окружности? Как устроена линия, для которой такие два пути одинаковы?
И что более вероятно: быстрее дойти от произвольной точки полукруга до диаметра или до дуги его окружности?
Как относятся две эти вероятности?

Контрольные на подобие в окружности.

Выкладываю свои контрольные работы на подобные треугольники в окружности, отрезки хорд и касательные по программе 9 класса. Первые два варианта подходят для физмат классов, 3 и 4 – на классы математической вертикали.
Работа рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня ребят.

Спасибо всем, кто пришел!

Вчера в книжном клубе Гиперион прошел  мой концерт — далеко не первый раз в этом замечательном месте. Программа была большая и серьезная — два отделения.
И хотя закончилось все довольно поздно, на концерт пришли школьники с их родителями, учителя, много новых молодых людей и представителей старшего поколения.
Спасибо всем, кто добрался, слушал, думал и переживал. Я подписал много книжек со стихами, а также свои учебники. Один ученик попросил меня подписать чистую тетрадку в клеточку — в подарок своей однокласснице на день рождения. Это было очень трогательно :)
Такие концерты бывают нечасто — приходите и в следующий раз, не пожалеете!

На фрагменте видео последний куплет песни "Колокол" - она о звонаре и бабочке.

Концерт

Для тех, кто не знает: кроме написания учебников я пишу еще стихи и музыку, которые сам же исполняю под гитару.
И поверьте — это не три аккорда:)

Приходите на мой сольный концерт в клуб Гиперион на Китай-городе в понедельник 11 марта. Начало в 20 часов. Помогать вести его будет моя жена Анастасия, она же подыграет мне на кахоне.
В этот раз программа посвящена временам года — ведь на календаре уже весна:)

На сумму углов

По просьбам учителей выкладываю контрольную работу на сумму углов для 7 класса.
Она рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.

Угол АВС. Решение

Выкладываю решение задачи с углом АВС. Получить ответ в ней можно, только немного зная тригонометрию.
Решение на рисунке.