Геометрия от Волчкевича

Угол в треугольнике. Решение

Выкладываю решение задачи про угол в треугольнике. Ученики хорошего 9 класса с ней легко справились.

Особенностью таких задач является то, что они не решаются просто подсчетом углов, — в них необходимо найти соотношение для отрезков, получить из него подобие треугольников и только потом считать углы.
Решение можно прочесть на рисунке.

Ветер в городе

После белого январского снега и черного, как хлеб, февраля приходит весна. Она приносит перемены в природе и душах людей, а Земной шар снова поворачивается своим боком к Солнцу.
Поздравляю всех читателей нашего канала с этим космическим событием и дарю вам песню Ветер в городе – пусть она будет вестником грядущих перемен!
Я исполню эту песню под гитару и кахон на своем концерте 11 марта в московском клубе “Гиперион”.

Запись видео сделана в студии радиостанции “Калина красная” в 2021 году.

Угол АВС

Вот новая задачка, смысл которой сразу понятен из рисунка: в ней нужно найти величину угла АВС. Ясно, что этот угол тупой, но чему примерно он может быть равен? Ответ здесь нужно получить с точностью до одного градуса.
Интересно перед решением немного проверить свою интуицию и попробовать угадать его на глаз!

На просвет

В прошлом году я вел занятия с шестым классом по наглядной геометрии. Ребята работали в парах: строили фигуры, мерили углы и отрезки, конструировали.
Выкладываю лучшие работы того года. Идею мне подсказала коллега — Елена Кожаринова, а я придумал, как это применить в большом классе.

На каждую парту я давал лист ватмана и листок бумаги, где были разные фигуры: зонтик, детская коляска, кораблик. Ребятам нужно было построить такие же фигуры на листе ватмана. Хитрость в том, что срисовать фигуры с оригинала было нельзя — ватман не просвечивал. Поэтому все построения делались циркулем и линейкой. А их качество я проверял так: приклеивал оригинал на окно и накладывал на него ватман с построенными фигурами. К окну подходить не разрешалось :)

Полное совпадение на просвет каждой фигуры оценивалось в 3 балла, за мелкие недочеты я ставил 2 балла, за существенные — 1 балл. Потом был разбор полетов: как избежать ошибок.
Вторая работа была сложнее: нужно было увеличить данные фигуры в 2 раза.

Угол в треугольнике

Вот задача, которую я на дом дал своему девятому классу — ребята будут думать над ней на этой неделе. А как она получится у вас?
Подсказка: сейчас мы проходим подобие треугольников в окружности.

Круги в квадрате. Решение

Вот решение задачи о трех равных кругах внутри квадрата со стороной 1.
Её ответом служит кубическое уравнение с целыми коэффициентами, единственный корень которого — радиус искомых кругов.

Многие классические задачи на построение приводят к подобным уравнениям: трисекция угла, построение правильного семиугольника, угла величиной в 1 градус, построение треугольника по трем его биссектрисам и другие.
Решение можно прочесть на рисунке.

Равные отрезки в треугольнике

Выкладываю решение наиболее сложной задачи с Новогоднего листка. В нем используются площади, подобие, теорема синусов и свойство серединных перпендикуляров к хордам. Такое решение отлично показывает, что задача для олимпиады может быть не только на доказательство, но и на вычисление.

Удивительно, что длина трех искомых отрезков всегда рационально зависит от сторон данного треугольника. Однако до такой формулы совсем не легко додуматься!
Решение можно прочесть на рисунке.

Контрольная на площади

По просьбам учителей выкладываю свою работу на площади. В ней представлены как задачи на использование простейших формул, задачи на клетчатой бумаге, отношение площадей подобных треугольников, так и задачи на расчет частей треугольника.
Работа рассчитана на 1-2 урока в зависимости от уровня класса.

Круги в квадрате.

Древние греки не могли решить некоторые задачи с помощью циркуля и линейки. Самыми известными из них были задачи об удвоении куба, деление произвольного угла на три равные части, построение правильного семиугольника и квадратура круга.
Только в XIX веке было доказано, что циркулем и линейкой из единичного отрезка можно построить лишь квадратичные иррациональности, то есть все числа, которые получаются из 1 с помощью арифметических операций и извлечения квадратных корней. Кстати, это доказательство вполне доступно школьникам.
Корни большинства кубических уравнений с целыми коэффициентами нельзя представить в таком виде, поэтому и построить их классическими инструментами не получится.
Вашему вниманию предлагается задача о трех равных кругах в квадрате, которую тоже не решить циркулем и линейкой, ведь радиус нужных кругов - корень кубического уравнения с целыми коэффициентами, которое не имеет рациональных корней.
Какое это должно быть уравнение?

Отношение отрезков в параллелограмме.

Выкладываю решение задачи об отношении отрезков на диагонали параллелограмма. Это несложная задача на подобие треугольников, и решить ее можно без дополнительных построений, глядя на рисунок. Правда, важно выбрать удобные обозначения: принять равные отрезки за 1, а расстояние между ними за неизвестную х. Тогда легко составить уравнение на х и получить ответ.

Интересно, что эта задача связана с золотым сечением и похожий параллелограмм можно увидеть в пентаграмме — символе Пифагорейской школы. Правда, все углы правильного пятиугольника равны 108 градусов, а у произвольного параллелограмма их нет. Зато с помощью линейного преобразования или параллельной проекции данного рисунка на другую плоскость углы правильного пятиугольника можно поменять, а отношение отрезков на его диагоналях при этом сохранится. За это отвечает важное свойство такого пятиугольника: каждая его диагональ параллельна своей стороне.
Решение можно прочесть на рисунке.

Выкладываю решение задачи 3 из новогоднего листка. При желании эту задачу можно легко переформулировать в формат единого государственного экзамена: в первом пункте попросить доказать, что синус угла АМВ равен 0,5376. А во втором пункте найти расстояние от точки М до хорды АВ.
Я считаю, что для ЕГЭ она слишком трудна, так как в первой части нужна идея с симметрией.
А как вы думаете?
Решение можно прочитать на рисунке.

Жёсткие фигуры на уроках

Это маленькое видео со своего урока вчера мне прислал мой коллега, замечательный преподаватель Д.Э. Шноль. На нем можно заметить, что ребята занимаются по нашему учебнику.

Данный урок посвящен третьему признаку равенства треугольников и жёсткости фигур. А начинается он с практической работы — ребята работают в парах и исследуют на жесткость конструкции из полосок бумаги. Их легко сделать, скрепить на концах кнопками и все увидеть собственными глазами.

Это именно то, что нужно: сначала ученики должны накопить опыт, получить мотивацию, а потом уже проходить определения и теоремы. Я называю такой подход индуктивным, в отличие от стандартной дидактики, которой полны большинство учебников. Такие инженерные задачки на жесткие конструкции есть в нашем учебнике в 7 и 8 классах.

Ребята могут и сами придумать похожие примеры и потом объяснить их с помощью элементарной геометрии. А вот пост, где мы исследовали на жёсткость более сложные конструкции из деревянных реек.

Задача из учебника

По просьбам учителей выкладываю решение типовой задачи на расчет площадей части треугольника. В моем учебнике этот метод проходится в середине 8 класса. В других учебниках такие задачи или вообще не рассматриваются, или их решают в лоб: сначала находят отношения всех отрезков с помощью подобия либо по теореме Менелая, а потом уже переходят к площадям.

Приведенное решение использует только метод площадей и основано на свойстве крыльев дельтаплана: прямая, которая содержит диагональ любого четырехугольника, делит его площадь так же, как и другую диагональ. Невыпуклый четырехугольник немного похож на дельтаплан, отсюда и возникло такое название.

Отношение

Предлагаю вашему вниманию две мои задачи, в которых нужно найти отношения отрезков. Правильнее сказать, лишь одно отношение, ведь ответ в этих задачах один и тот же. Можете вы сказать, чему равно это отношение?

Как обычно, в комментариях пишите только ответ, а не решения.

Решение задач с новогоднего листка.

Зимние каникулы давно прошли, и пора выкладывать решения задач с новогоднего листка.
Начнем со второй задачи про трапецию — ребята с ней легко справились. В этой задачке есть хорошая идея: признак трапеции по равенству площадей треугольников между ее диагоналями, которые образуют бабочку.
Решение можно посмотреть на рисунке.

Площадь четырехугольника. Решение.

Задача о наибольшей площади четырехугольника с тремя данными сторонами и четырьмя вершинами на сторонах данного угла может быть решена в общем случае. Приведенное решение сводит ее к треугольнику, образованному концами трех данных отрезков, если они выходят из одной точки.

Случай равных отрезков сразу приведет нас к симметричному треугольнику, и тогда искомый четырехугольник будет равнобокой трапецией. В общем случае никакой трапеции уже не будет.

Как это можно сделать, смотрите на рисунках.

Наибольшая площадь

Леонард Эйлер говорил, что в основе каждого явления природы лежит какой-то максимум или минимум. Другими словами, сама Природа говорит с нами на языке оптимизации. На нашем канале пока еще не было таких геометрических задач. Вот первая из них.

Расположим на сторонах данного угла ломаную из трех равных отрезков. Как это сделать, чтобы четырехугольник, образованный вершинами такой ломаной, имел наибольшую площадь?

Свести эту задачу к чистой алгебре можно, но очень не хочется. Попробуйте найти чисто геометрическое решение.
И еще один вопрос: при какой величине угла площадь получившегося четырехугольника будет самой большой?
Как обычно, в комментарии пишите свои ответы, а не решения.

Задачи на каникулы

Чем можно заняться на Новогодней неделе? Доесть праздничный салат, сходить в гости, покататься на коньках… Хотя в такой мороз последнее — это отчаянный поступок. Уж лучше сесть у горящего камина в качающееся кресло и открыть хорошую книгу. А еще лучше порешать хорошие геометрические задачи — это я и предлагаю вам сделать :)

Пять задач на этом новогоднем листке я выдал ученикам своего девятого класса как задание на зимние каникулы. Правда, оно для них необязательное. Там есть и сложные задачи, но главное — все они новые, с ответами и не гуглятся (извините за новомодное слово).

Как обычно, пишите в чат только ответы, а не решения :)
Хорошего вам проведения времени и раздумий!

Звезда Рождества 🌟 🎄

Поздравляю всех читателей нашего канала с наступающим Новым 2024! Пусть он принесет то, чего мы все так ждем: перемены к лучшему!
И пусть в темноте ночей вам светит эта Рождественская звезда — её геометрия так проста и завораживает своей красотой. Из лучей и простых отрезков её когда-то сделал мой бывший ученик Александр Даниярходжаев, спасибо ему! Смотреть на эту звезду лучше с большого монитора. Попробуйте догадаться сами, как устроена механика её загадочного мерцания:)

А в первом комментарии я выкладываю запись своего Рождественского романса на прекрасные слова молодого Иосифа Бродского. Такой он увидел Москву тогда — зимним вечером 1962. Впрочем, в этих стихах есть и пророческий смысл, особенно актуальный сейчас. Надеюсь, моя музыка его лишь подчеркнула.