Равные отрезки в треугольнике

Выкладываю решение наиболее сложной задачи с Новогоднего листка. В нем используются площади, подобие, теорема синусов и свойство серединных перпендикуляров к хордам. Такое решение отлично показывает, что задача для олимпиады может быть не только на доказательство, но и на вычисление.

Удивительно, что длина трех искомых отрезков всегда рационально зависит от сторон данного треугольника. Однако до такой формулы совсем не легко додуматься!
Решение можно прочесть на рисунке.