Шар в пирамиде

На Олимпиаде им. Курчатова в 11 классе была предложена моя задача про шар, вписанный в четырехугольную пирамиду. Её решение элементарно и основано лишь на равенстве касательных к шару из точки, равных треугольниках и теореме Пифагора.
Однако существует красивая связь подобных задач с эллипсами, которые вписаны в основания таких пирамид. Это позволяет получать как интересные утверждения про пирамиды, в которые можно вписать сферу, так и про свойства эллипсов, вписанных в их основания. Например, оказывается, что основание шестиугольной пирамиды (а тем более, пирамид с большим числом граней) не может быть произвольным шестиугольником.
Как это объяснить, вы можете прочесть на рисунке.