Квантовая информатика

Заметил, что наши статьи по вещественной квантовой механике стали обсуждать на разных каналах, в комментариях на сайтах, поэтому ещё раз хочу подчеркнуть, что это история не просто про то, что комплексное число представляется как пара вещественных - тут нечего и думать, это действительно очевидно изначально. Как я писал до этого, вся это история - про адекватное представление составных квантовых систем: как состояния подсистем складываются в состояния составной системы и обратно.

Просто аккуратное объяснение этого требует понятие тензорного произведения. Оно несложное, но всё-таки оно находится за предалами не только школьной математики, даже углубленной, но и математической программы технических вузов, да даже, наверное, и многих физических специальностей, не связанных с квантовой информатикой. Поэтому все популярные изложения не могут хорошо объяснить этот момент. Тут на словах сложно, надо писать формулы.

Популярные изложения хороши для того, чтобы понять, что в принципе сейчас в науке происходит. Но чтоб понять, в чем конкретно там заключается "битва", в чем сложность, часто нужно уже погружаться. Экспериментальные научные результаты, наверное, проще объяснить популярно, но что касается абстрактной теоретической науки, то вот так:)

☝️Известная популяризаторша науки Сабина Хоссенфельдер о наших результатах по вещественной квантовой механике. Я ждал её критики, она часто критикует физиков за то, что занимаются "не тем", но в итоге она даже и не критиковала, а изложила собственно мою точку зрения.

Кстати, интересная история произошла с названием нашей статьи. Первоначально мы планировали её назвать "Quantum theory does not need complex numbers" - "Квантовая теория не нуждается в комплексных числах". Но я изложил свои аргументы, что так утверждать неправильно, т.к. непонятно, что значит "нуждаться": в принципе, так можно и от вещественных чисел отказаться, дойти до натуральных. В итоге мы назвали свою статью не так громко, но по сути: "Quantum mechanics based on real numbers: A consistent description" - "Квантовая механика, основанная на вещественных числах: Согласованное описание", как раз в духе пункта 1 выше. То есть мы приводим, насколько у нас получилось, согласованное описание квантовой теории, основанное только на вещественных числах, но всё равно это симуляция комплексной структуры.

И спустя время выходит статья с названием в точности, как мы имели вначале - "Quantum theory does not need complex numbers", - но авторов из Франции. Дело в том, что в промежутке между выходами наших статей один наш соавтор рассказал на конференции коллегам, что первоначальное наше название было таким, и мы поэтому стали подозревать, что коллеги "украли" наше первоначальное название. Однако они нас заверили, что нет, у них тоже ещё давно было такое название и они, в отличие от нас, его оставили. Они и так удивились, что мы вперёд их опубликовали работу на ту же тему, а вот бы было их удивление, если б ещё и название было тем же! 😁

Это название более громкое, так что в плане "славы" они где-то нас даже опередили: люди лучше обращают внимание на громкие заголовки, поэтому у учёных есть соблазн "overselling" своих результатов в заголовках.

Суть и нашей статьи, и статей наших коллег в том, что да, правило тензорного произведения даёт нам автоматически локальность, но это не единственное правило, которое даёт локальность. Да, вещественное тензорное произведение, в отличие от комплексного, упускает существенную для квантовой механики степень свободы. Мы с коллегами предлагаем разные способы немного подправить вещественное тензорное произведение, чтобы оно снова учитывало все особенности именно комплексного тензорного произведения.

В конечном счёте, мы, избавляясь от комплексных чисел, все всё равно симулируем комплексную структуру посредством вещественных чисел. Так что, хоть наши статьи и называются в том духе, что можно обойтись без комплексных чисел, лично я сделал такой вывод из этой истории:

1. Да, можно предложить убедительную и даже красивую формулировку квантовой механики, используя только вещественные числа.
2. Тем не менее, всё равно это симуляция комплексной структуры.

Так что я бы сказал, что комплексная структура в самом деле фундаментальна для квантовой механики. А комплексные числа наиболее удобны для передачи этой структуры, так что в этом смысле они тоже фундаментальны.

Любые числа - математическая абстракция. Можно ещё здесь вспомнить фразу немецкого математика XIX века Леопольда Кронекера: "Бог создал целые числа, всё остальное - дело рук человека". То есть целые или даже просто натуральные числа и ноль (т.е. 0,1,2,...) фундаментальны "по-настоящему", остальные числа вводятся для удобства, для выражения определённых математических структур.

Размышляя об этом вопросе, мы выходим на общий вопрос и философии математики: математики ИЗОБРЕТАЮТ или ОТКРЫВАЮТ свои структуры? Можно ли считать, что те же вещественные или комплексные числа, геометрия Евклида и т.д. в некотором смысле существуют (в платоновском мире идей, в мыслях Бога) и человек их открывает в том же смысле, что и законы физики? Или это действительно исключительно дело рук человека, язык, который изобретает человек для описания физической реальности? Я больше склоняюсь к первой позиции.

Так вот если у нас уже не один атом, а два, то волновые функции двух атомов "живут" в так называемом тензорном произведении гильбертовых пространств. Это некое правило, сопоставляющее пространствам отдельных атомов "большее" пространство уже пары (или произвольного числа) атомов или других частиц.

Так вот тензорное произведение как раз так устроено, что принцип локальности выполняется автоматически.

Но в 2021 году группа авторов опубликовала в журнале Nature результат, что если комплексное тензорное произведение на вещественное, то такая теория не способна объяснить определённые эксперименты, связанные уже даже не с двумя, а с тремя квантовыми частицами. Это и вдохнуло новый импульс в дискуссии о том, может ли квантовая теория обойтись без комплексных чисел. Авторы статьи заключают, что нет. Надо отметить, что Nature - это самый авторитетный научный журнал в мире и крайне редко публикует чисто теоретические статьи: эксперименты всегда выглядят более "ярко" для таких "витринных" журналов. А тут была опубликована чисто теоретическая статья!

Собственно, я изначально отнёсся к тематике скептически: вопрос, как я уже сказал, не совсем математический, а скорее эстетический, большого практического смысла не имеет. Никто, конечно, не собирается отказываться от комплексных чисел и переходить к другой формулировке квантовой механики. Но вот меня убедил аргумент, что публикация в Nature означает, что научное сообщество считает этот вопрос важным и интересным. Что подтверждается и (относительно) большим количеством статей, которые вышли в этом году в ответ на эту статью в Nature, помимо, собственно, нашей. Мы оказались первыми, но тут же нам написали люди о том, что они тоже этим занимаются, и после нас, вышел ещё ряд статей, чему я был удивлён.

Часть этих статьей упомянуты в статье в Quanta, с которой я начал, но не все. Были ещё интересные статьи моего научного руководителя Игоря Васильевича Воловича и Ирины Ярославны Арефьевой, которые по какой-то причине не упомянуты в Quanta, хотя я журналистам Quanta о них говорил и советовал взять интервью и у них тоже!

В классической механике частица в каждый момент времени характеризуется своим положением и скоростью. В квантовой механике, как известно, частица не занимает определённое положение, а "размазана" в пространстве, так же со скоростью. Вот эта "размазка" характеризуется так называемой волновой функцией. На рисунке изображены волновые функции для атома водорода.

Эта волновая функция комплекснозначная, уравнение Шрёдингера - как раз уравнение на волновую функцию. И эти функции "живут" в специальных математических линейных (точнее, гильбертовых) пространствах.

Продолжим. Сама вопрос, можно ли заменить в формулировке квантовой механики комплексные числа вещественными, плохо поставлен. Конечно, можно: если комплексное число - это просто пара вещественных со специфическими правилами арифметических действий, то мы можем везде, где нам встречаются комплексные числа, заменить их на пары вещественных и сказать, что мы действуем с ними по таким-то правилам. То есть держать в голове комплексные числа, но формально не вводить их. Но это будет некрасиво, слишком громоздко, неудобно. Поэтому вопрос должен звучать, можно ли предложить вещественнозначную формулировку квантовой механики так, чтобы она была "красивой", "убедительной". Это, конечно, делает вопрос уже эстетическим, а не чисто математическим.

И тут в игру вступает локальность. Это фундаментальный физический принцип. Представим себе, например, два атома, один на Земле, другой на Луне. Они не взаимодействуют, никак не связаны между собой, но мы хотим по какой-то причине рассматривать их вместе. Тогда, если мы как-то воздействуем на атом на Земле, то на атом на Луне это, очевидно, никак не влияет. Это и есть принцип локальности. Но как это требование выразить математически?

Небольшое дополнение по поводу Шрёдингера: он не просто надеялся, что можно его уравнение записать без использования комплексных чисел, он даже и написал его впервые без их использования: уравнение, напоминающее волновое уравнение как раз из электродинамики, без комплексных чисел.

Это пока была первая часть, продолжение следует:)

Это фундаментальный вопрос. Он волновал людей начиная с самого возникновения квантовой механики. Сам Шрёдингер был неудовлетворён тем, что его уравнение - комплексное, и выражал надежду, что может быть найдено и вещественнозначное описание без использования комплексных чисел. На картике это изображено в виде человечка, закрашивающего мнимую единицу i. Затем на протяжении XX века многочисленные учёные, в том числе известные, возвращались к этому вопросу.

В квантовой механике ситуация другая. Там теория с самого начала формулируется на языке комплексных чисел. По той же причине: это волновая механика, каждой частице там соответствует волна. Вот на картике изобажено главное уравение квантовой механики - уравнение Шрёдингера, - которое явным образом содержит эту самую мнимую единицу i. Но, может быть, это просто исторически так получилось, что квантовую механику сформлировали на языке комплексных чисел, но, как и с электродинамикой, можно было сформулировать её на чисто вещественном языке, а комплексные числа ввести уже потом, тоже только для удобства? Или же это невозможно и квантовая механика - именно "фундаментально комплексная" теория? Т.е. тогда комплексные числа - не просто инструмент для удобства, а именно фундаментально необходимы для физики, они заложены в структуре мироздания.

Но во всех этих случаях речь идёт именно об удобстве. То есть можно обойтись и без этих необычных чисел, но с ними просто удобнее: когда привыкаешь к работе с ними, то обнаруживаешь, что с их помощью можно выражать физические явления, рассчитывать те же электрические схемы и т.д. гораздо удобнее и быстрее. Ряд методов в электротехнике: метод комплексных амплитуд, метод контурных токов, метод узловых потенциалов на этом и основаны. Но в принципе можно всё делать и без использования этих чисел.

Это в точности соответствует тому, что может происходить с волнами: если две волны приходят в какую-то точку "в фазе" (т.е. гребень одной фолны приходится на гребень другой - верхний рисунок), то они усиливают друг друга, получается волна вдвое большей амплитуды. Если же они приходят "в противофазе" (гребень одной волны приходится на впадину другой, нижний рисунок), то они друг друга гасят.

Поэтому комплексные числа удобно использовать для описания колебательных и волновых процессов. Они и используются, например, в электротехнике, когда мы работаем с переменным током, в радиотехнике, когда работаем с волнами.

Дело в том, что комплексное число можно представить как точку на плоскости, см. рисунок: два обычных вещественных числа x и y, одно из которых умножается на эту самую мнимую единицу i. Дальше все действия с этими числами такие же: их можно складывать, вычитать, умножать, если везде, где нам встречается i*i, заменять это на -1.

Или лучше вот представить сейчас комплексное число не как точку на плоскости, а как вектор из начала координат в эту точку. Тогда при сложении и вычитании комплексных чисел действуют обычные правила сложения и вычитания векторов. Если, например, мы скаладываем два таких вектора, одинаковых по длине, которые ещё и "смотрят" в одну сторону, то в сумме получается вектор, "смотрящий" в ту же сторону, но вдвое большей длины. А если мы складываем два одинаковых по длине вектора, которые "смотрят" в противоположные стороны, то в сумме они дают ноль.

Для начала о том, что такое комплексное число. Вот мы все со школы знаем правило "минус на минус даёт плюс" при умножении обычных вещественных чисел. То есть, например, (-1)*(-1)=1. Поэтому квадрат никакого числа не может быть отрицательным. В самом деле, если положительное число умножается на себя, то получается, разумеется, положительное число. Если умножается на себя отрицательное число, то в соответствии с этим правилом тоже получается положительное число.

Но математики придумали такое новое число, которое называется "мнимая единица" и обозначается буквой i, которое при умножении на себя даёт -1, т.е. i*i=-1. Первоначально это число ввёл Декарт как некую фикцию (потому и назвал мнимым) для того, чтобы более удобно выражать решения кубических уравнений. Но это находится за пределами школьной программы, поэтому, когда мы проходили комплексные числа в школе, у меня был протест: я не понимал, зачем они нужны, какой в них смысл. Впоследствии понял: эти числа помимо вот той математики алгебраических уравнений очень удобны для представления колебательных и волновых физических процессов.

Приветствую новых подписчиков! Вероятно, скачкообразный приток новых людей связан с появлением статьи в научно-популярном журнале "Quanta magazine" о нашей статье о необходимости комплексных чисел в квантовой механике:
https://www.quantamagazine.org/physicists-take-the-imaginary-numbers-out-of-quantum-mechanics-20251107/

Может, конечно, просто совпадение:) В любом случае, конечно, я не мог об этом не написать. Собирался написать сначала после выхода препринта, потом время ушло, хотел написать уже тогда после публикации научной статьи (но пока на повторной рецензии), но вот пишу после научно-популярной публикации.

В общем, в последние годы внезапно обострился вопрос о необходимости комплексных чисел в квантовой механике.

Ещё небольшое замечание - на предпоследей картинке у трансмона изображен только один джозефсоновский контакт, а на более ранней картике с трансмоном - два контакта, соединенные параллельно. Два контакта параллельно - это уже для управления частотой. Если там через этот подконтур, состоящий из двух джозефсоновских контактов, будем пропускать магнитное поле, то это будет эквивалентно схеме с одним джозефсоновским контактом, но с регулируемой индуктивностью и, значит, с регулируемой частотой.

Теперь можно понять, чем плохо, когда расстояния между всеми соседними уровнями энергии одинаковые. Мы, например, подаем по проводу сигнал на частоте перехода между основным и первым возбужденным состоянием, т.е. информационно - между "нулём" и "единицей". Можно таким сигналом, как из "нуля" в "единицу" перевести наш кубит, так и обратно, а можно и в суперпозицию. Но поскольку переход между первым возбужденным уровнем ("единицей") и следующим, вторым возбужденным уровнем, имеет ту же частоту, или ту же разность энергий (разность энергий - это и есть частота перехода, помноженная на постоянную Планка), то наш кубит может при таком сигнале уйти вот на тот, нежелательный уровень, и потом и ещё выше, потому что там и следующая частота тоже такая же, и так далее.

Поэтому создать бы систему, где разности энергий между разными соседними уровнями не были бы одинаковыми. Чтоб вот подали сигнал - и осуществлялись бы переходы между первыми двумя, то есть информационными, уровнями, а в неинформационные более высокие уровни переходы бы не происходили.

Здесь как раз катушку надо заменить на джозефсоновский контакт: на предпоследей картинке - справа вверху, обозначен крестиком. Он тоже работает как индуктивность, но более сложным образом и как раз создаёт "ангармоничность" - расстояние до следующего уровня каждый раз немного уменьшается с повышением уровня (предпоследняя картинка, справа вниху, "Computational subspace" - это как раз "вычислительное подпространство", связанное с первыми двумя уровнями). То есть расстояние между основным и первым возбужденным состоянием оказывается немного больше, чем между первым и вторым возбужденными состояниями, которое, в свою очередь, немного больше, чем между вторым и третьим, и т.д.

Это позволяет подавать управляющий сигнал с нужной частотой "адресно" только на переходы между первыми двумя уровнями, не затрагивая остальные.

Вот так:) Поздравляем лауреатов с заслуженной премией! Хотя слышал изречение, что Нобелевская премия - это не просто премия конкретным людям, а премия, которую человечество присуждает самому себе:)

А как мы переводим, скажем, атом из одного уровня на другой? Из школы мы знаем: можно посветить на него светом, определенной частоты. Атом может поглотить фотон определенной энергии и перескочить вверх на то же количество энергии, если там находится уровень. Если не находится, то такие фотоны атом "не видит". Так же и здесь, только здесь мы не светим фотонами, а подводим микроволновый импульс по проводу (частота колебаний сверхпроводникового контура как соответствует микроволновому спектру - длина волны от 1 мм до 1 м).

Вот на этой картинке (оттуда же, откуда и фото трансмона) "qubit drive" - это как раз проводочек управления, тогда как справа - система по считыванию состояния кубита ("0" или "1").

Так вот энергия связана с амплитудой этих колебаний, максимальным током. Вот именно она не какая угодно, а из дискретного набора (картинка слева внизу). То есть весь контур ведёт себя, как один большой атом с дискретными уровнями энергии.

Проблема для квантовых вычислений тут следующая. Из квантовой физики так получается, что расстояния между каждыми соседними уровнями энергии получаются абсолютно одинаковыми - постоянная Планка умножить на частоту колебаний (которая зависит от индуктивности катушки L и электроёмкости конденсатора C, т.е. фиксирована). Это так называемый "квантовый гармонический осциллятор" (на рисунке стоит аббревиатура QHO - "quantum harmonic oscillator") - относительно простая модель, которую проходят студенты на 3 курсе.

Проблема в чем? Как мы это используем для квантовых вычислений? Самый нижний уровень энергии ("основное состояние") пусть соответствует значению бита "0", а следующий уровень ("первое возбуждённое состояние") - значению бита "1". Но может быть и их суперпозиция, это же квантовая "частица". А остальные уровни нам не нужны, т.е. если колебания неконтролируемо перейдут на более высокие уровни, то это приведёт к вычислительной ошибке.