Для начала о том, что такое комплексное число. Вот мы все со школы знаем правило "минус на минус даёт плюс" при умножении обычных вещественных чисел. То есть, например, (-1)*(-1)=1. Поэтому квадрат никакого числа не может быть отрицательным. В самом деле, если положительное число умножается на себя, то получается, разумеется, положительное число. Если умножается на себя отрицательное число, то в соответствии с этим правилом тоже получается положительное число.

Но математики придумали такое новое число, которое называется "мнимая единица" и обозначается буквой i, которое при умножении на себя даёт -1, т.е. i*i=-1. Первоначально это число ввёл Декарт как некую фикцию (потому и назвал мнимым) для того, чтобы более удобно выражать решения кубических уравнений. Но это находится за пределами школьной программы, поэтому, когда мы проходили комплексные числа в школе, у меня был протест: я не понимал, зачем они нужны, какой в них смысл. Впоследствии понял: эти числа помимо вот той математики алгебраических уравнений очень удобны для представления колебательных и волновых физических процессов.