Геометрия от Волчкевича

Прощание с летом

Сегодня последний день лета — жаркий, солнечный, зеленый и голубой. Каким он и должен быть… Завтра уже осень, заштрихованная дождями, засыпанная опавшими листьями. И так повторяется из года в год, из века в век. В XVlll веке японский художник и поэт Бусон написал свое знаменитое хокку о бабочке:

Грузный колокол.
А на самом его краю
дремлет бабочка.

Этот образ я взял за основу своей музыкальной композиции, которую переложил на русский сказочный мотив о звонаре и басовых колоколах — огромных и тяжелых, от звука которых дрожат камни и на глазах выступают слезы. Пусть эта песня о колоколе прозвучит в нашем канале как прощание с летом.
Трек с ней можно послушать в первом комменте.

Треугольник на клетках

После летнего перерыва снова начинаем радовать читателей нашего канала новыми материалами:) Вот первая задача на клетчатой бумаге — она хороша для повторения знаний учеников 8 и 9 классов, хотя для решения первых двух ее пунктов хватит знаний и семиклассника.
В комментах, как обычно, пишите пока только ответы:)

На выпуклые части. Решение.

Выкладываю решение своих задачек без возраста. При всей простоте рисунка догадаться до этих конструкций не так просто — перед ними равны и взрослые, и дети. В первом комменте я выложу разбиение треугольника на 25 выпуклых пятиугольников — оно первое пришло мне в голову. Разбиение тетраэдра на выпуклые шестигранники можно получить с помощью пятиугольных пирамид с общей вершиной.
Возникают несколько открытых вопросов: можно ли разбить треугольник на меньшее число выпуклых пятиугольников? Можно ли разбить его на выпуклые шестиугольники? Можно ли разбить тетраэдр на выпуклые семигранники или на меньшее число выпуклых шестигранников?
Пишите свои соображения в комментах:)

Третья сторона. Решение.

Многие легко справились с пунктом А этой задачи — оказалось, что данный факт был обнаружен раньше Сережей Маркеловым. В пункте Б также легко было получить ответ 3 с помощью теоремы Чевы. Неладное сначала заподозрил Вячеслав Самусев, а разобрался с этой ситуацией потом Игорь. Оказалось, что в поставленной формулировке задача не имеет решения, я этого тоже сначала не заметил и, только прочитав комментарии, понял, в чем дело.
Тогда правильное условие пункта Б должно быть такое: Найдите отношение сторон треугольника АВС. Либо можно задать длину только одной стороны АС и попросить найти длину перпендикуляра МН. От этого задача станет еще интереснее. В любом случае, я выражаю свою благодарность Игорю и Вячеславу за их ценные комментарии и упорство!

Красные отрезки

Предлагаю свою задачу на исследование. Само собой, если данный факт окажется верным, было бы интересно найти его обоснование без утомительных вычислений. Пока не буду говорить, знаю ли я такой способ. И поэтому жду ваших решений:)

На выпуклые части

Выкладываю две свои задачи «без возраста» на разбиение треугольника и тетраэдра. Первая из них предлагалась этим летом на турнире Савина школьникам 7-8 классов. Вторая — пространственный аналог первой. Понятно, что на каждый из этих вопросов есть всего три ответа: да, нет и не знаю. Поэтому в комментах пишите не только свои ответы, но и их обоснование:)

Третья сторона

Предлагаю еще одну задачу на доказательство + вычисление. Для Единого Государственного экзамена она немного трудна, а для читателей нашего канала будет в самый раз. Пишите свои ответы в комментах.

Отрезок пополам

Предлагаю свою задачу формата Единого Государственного экзамена, которую можно решить методами 7 класса. При этом ее сложность вполне соответствует экзаменам последних лет.

Решения задач

Выкладываю решение трех задач, которые связывает одна идея решения — отражение треугольника относительно его сторон. Их можно использовать на кружке по такой же теме. К третьей задаче интересно поставить обратный вопрос: для какого равнобедренного треугольника отрезок между основаниями высот равен полуразности его сторон? Тогда решения через теорему косинусов и подобие приведут к кубическим уравнениям и будут трудны для учеников 8 и 9 классов.

Отрезки в правильном треугольнике

В начале 2000 гг задачи по геометрии на письменном экзамене на мехмат МГУ были такого типа: они состояли из двух пунктов на вычисление, причем первый (более легкий) служил своеобразной подсказкой для второго. Мне кажется, что такой тип задач очень подходит для письменного экзамена - он позволяет оценить даже небольшое продвижение в задаче и удобен для проверки.
Предлагаю вам задачу, которую я составил по такой же схеме. Как вы думаете: лучше она или хуже подходит для задач профильного ЕГЭ?

Задачи с турнира

В июне этого года прошел турнир имени Савина для школьников 7 и 8 классов. На нем ребята решали несколько моих задач. Предлагаю вам подумать над двумя из них.
Просьба: в комментах пишите только свои ответы:)

Расстояние между основаниями высот

Предлагаю свою задачу, которую можно красиво решить без тригонометрии. Она рассчитана на учеников 8 класса, и ее ответ линейно (и рационально) зависит от длин сторон данного треугольника.
А те, кто читал два моих предыдущих поста, сразу заметит общую идею решения таких задач:)

Формула тройного угла

Формулу для синуса тройного угла в средней школе проходят не всегда. Тем более на уроках геометрии. Тем не менее, ее можно легко доказать чисто геометрически для углов меньших 120 градусов, пользуясь данным рисунком. Такие доказательства очень важны для школьников. Они хорошо показывают, что тригонометрия с ее хитрыми формулами — это не китайская или какая-то марсианская грамота, а следствие самой геометрии, ее чертежей и законов, абстрактная часть наглядной теории.
К тому же, процесс самого доказательства естественно повторяет другие известные ученикам геометрические формулы. Попробуйте найти наиболее короткое доказательство этой формулы, которое использует данный рисунок.

На три равные части

Предлагаю задачу о разделении выпуклого четырехугольника на три равные части. Она рассчитана примерно на программу 8 класса. Останется ли верным утверждение задачи, если четырехугольник не будет выпуклым?

Три окружности. Решение

Выкладываю решение этой задачи с выходом в трехмерное пространство. Сфера, проходящая через вершины треугольника, касается другой плоскости только, если описанная окружность данного треугольника лежит по одну сторону от неё. Причем, таких сфер в общем случае будет две. Доказать это утверждение легко: центр нужной сферы должен лежать на перпендикуляре к плоскости треугольника, проходящем через центр его описанной окружности, и на таком же расстоянии от плоскости касания. Тогда трехмерная задача легко сводится к плоской.
В результате три окружности с радиусами, равными касательным, будут иметь только две точки пересечения, если прямая (PQ) не имеет с окружностью треугольника общих точек.

Части круга. Решение.

Многие читатели легко справились с этой задачей, тем не менее я все равно выложу свое решение — оно интересно тем, что прямо связывает его метод с правильными многоугольниками, вписанными в данный круг. Если же хорды сегментов будут пересекаться не на окружности, а внутри круга, решение задачи сильно усложнится и приведет уже к трансцендентному уравнению. Аналогичная ситуация будет, если площади сегментов не будут равными. Приводить эти уравнения мы здесь не будем.

Три окружности

Предлагаю свою задачу на исследование. Как известно, две различные окружности имеют не больше 2 точек пересечения. Три же окружности пересекаются в двух точках далеко не всегда. Тем не менее, в предлагаемой задаче так будет при выполнении всего одного условия. Попробуйте понять какого! Подсказка: эта задача имеет красивое и не совсем плоское решение:)

Леонард Эйлер

Все, кто знаком с математикой, знают про принцип математической индукции — цепь домино: если ее фишки стоят так, что каждая при своем падении задевает следующую, достаточно толкнуть первую —
и упадут все. На этом принципе основано шуточное определение российского математика: таковым можно считать того, кого математиком назвал другой русский математик. То есть в данном определении работает так называемый индуктивный переход.
А кого же тогда считать первой стоящей фишкой домино — базой индукции? Конечно, Леонарда Эйлера! Именно с него началась русская научная школа — одна из самых сильных в мире.
Этот универсальный гений много сделал не только для физики, теории чисел, астрономии и картографии, но и для элементарной геометрии, поэтому ему посвящена статья в 8 классе нашего учебника.
Неделю назад в программе Леонида Млечина «Свет и тени» на телевидении вышла передача о жизни Леонарда Эйлера, в которой я тоже принял небольшое участие. Делюсь с вами ссылкой на эту программу: https://rutube.ru/video/0e99a27dce3455c94628c81f3c180e5d/

Части круга.

Предлагаю вашему вниманию свою задачу на части круга. Она интересна тем, что вообще имеет определенный ответ, который вдобавок является рациональной функцией от числа пи. Перед тем как решать задачу, интересно проверить свою интуицию: попробуйте догадаться, около какого целого числа < 16 находится площадь третьей части круга. А потом найдите его точное значение!

Переправа через ров. Решение.

Выкладываю решение задачи о переправе через ров ширины 10 м для трех досок минимальной длины. Удивительно, что эта задача сводится к уравнению 6 степени.