Зачем мне эта математика

При изучении математики вы могли заметить, что в куче ситуаций и формул встречается число e.
С ним можно столкнуться ну просто всюду!
А, может, у вас не было такого ощущения — тогда сегодня оно точно возникнет. 😎

Мы принесли вам видео, которое вот уже месяц является хитом интернета. Это космически красивая анимационная история о том, как человечек боролся с числом e (а зря!), но в итоге всё закончилось хорошо.

Если вы его уже видели, предлагаем пересмотреть — настолько оно замечательное.

Видео классное не только своей красотой, но и математической глубиной. Всё начинается с довольно невинной математики, но потом она становится всё сложнее и сложнее. В одном из верхних комментариев к видео есть тайм-коды с тем, что же именно происходит.

А ещё появилось много видео с разборами исходного ролика — в них подробнее объясняется происходящее.
Предлагаем вам, например, вот это.

Но, возможно, в оригинальном видео гораздо большо смыслов и аллюзий, чем нашли все обозревающие.
А какой ваш любимый момент?

Привет!
Разберём пятничную задачу про балерин.

Мы хотим найти самое большое общее количество верных фуэте. Это число складывается из верных фуэте всех балерин, значит, у каждой их должно быть как можно больше.

Пусть одна балерина сделала корректно 5 фуэте. По условию задачи любые две балерины вместе сделали правильно не более 9 фуэте. Значит, всем остальным удались не более 4. Нам нужен максимум, поэтому берём ровно 4.

В таком случае вместе все балерины станцуют правильно 4*4+5=21 фуэте.

Рассмотрим общий случай и проверим, есть ли другие варианты, при которых общая сумма получится больше.

Пусть одна балерина сделала верно n фуэте. Тогда любая другая станцевала корректно максимум 9-n.

Если n меньше 5, то 9-n⩾5. Получается, есть две балерины с 5 или более верными фуэте, и тогда вместе они сделали верно более 9 фуэте. Это противоречит условию задачи. Значит, n⩾5.

Теперь посчитаем суммарное количество верных фуэте для общего случая: получится n+4(9-n)=36-3n.

Это выражение уменьшается при увеличении n. Например, если n=6, то 36-3n=18 — это меньше, чем найденное нами 21. И дальше будет всё меньше.

Итак, n не может быть меньше 5, но и не должно быть больше 5. Значит, комбинация, которая приведёт к максимуму такая: один балерина правильно станцевала 5 фуэте, остальные — по 4, а все вместе — 21.

В данной формулировке задачу также можно решить перебором, так как числа небольшие.

Ответ: 21

От игры «Жизнь» — к реальной жизни. К жизни балерин 🩰

Пять балерин танцевали на сцене независимо друг от друга. Постановщик заметил, что за прошедшую минуту любые две из них вместе станцевали корректно не более девяти фуэте. Каким в этом случае может быть самое большее количество верно исполненных фуэте на всех пятерых?

Ваши решения и ответы традиционно ждём в комментариях под скрытым текстом. А разбор мы опубликуем в понедельник.

Игра останавливается в трёх случаях: если все клетки умрут (то есть «жизнь» закончится), если происходит зацикливание некоторых конфигураций или если возникает статичная картинка.
Получается, игрок влияет только на стартовую позицию, дальше на игру уже нельзя повлиять — можно только смотреть.

Несмотря на простоту правил, эта игра остаётся интересной уже более 50 лет: всегда можно придумать новый стартовый порядок, при котором получится интересный результат. Например, можно создать бесконечную бегущую строку с настоящей надписью или огромный космолёт, который будет бесконечно двигаться в одном направлении.
Для визуализации игры «живые» и «мёртвые» клетки раскрашивают в разные цвета. Например, в гифке к посту выше «живые» клетки — красные, «мёртвые» — белые.

У «Жизни» есть много вариаций: можно менять условия появления и выживания «живой» клетки, сделать похожую конструкцию в трёхмерном пространстве, добавить клетки других цветов — и много что ещё.

«Жизнь» — это пример клеточного автомата. Теория клеточных автоматов начала своё существование раньше, чем придумали эту игру. Но именно «Жизнь» — самый известный клеточный автомат. Причина — в его простоте и вариативности.

Изучение этой игры повлияло на развитие других разделов математики и имеет множество аналогий в других науках. Например, изменение конфигураций игрового поля очень похоже на размножение бактерий и простейших микроорганизмов.

В химии иногда встречаются молекулярные связи, которые ведут себя как простейшая самоповторяющаяся фигура игры, «глайдер». Именно глайдер повторяется на гифке из верхнего поста. Эта фигура важна не только в химии — она считается — внезапно! — эмблемой хакерского сообщества.

А в этом видео сам создатель игры Джон Конвей рассказывает про клеточные автоматы и колонизацию Марса. 👽

В комментариях приложим ещё несколько примеров развития игры при разных стартовых позициях. Изучить коллекцию готовых вариантов или создать свой можно, например, на сайте.

Наверняка многие из подписчиков нашего канала слышали про область математики, которая называется «математические игры». Обычно это задачи, которые формулируются в виде правил игры, в которую могут играть несколько человек, цель — придумать выигрышную стратегию и стать победителем.

Но это не единственные игры, в которые играют математики. Некоторые математические игры вообще без игроков! Сегодня мы расскажем вам об одной такой игре. Она называется эффектно — «Жизнь».

Придумал её английский математик Джон Конвей. Сеттинг такой: есть бесконечная клетчатая плоскость, каждая её клетка может быть либо «живой» (состояние 1), либо «мёртвой» (состояние 0). У каждой клетки есть ровно 8 соседей, которые соприкасаются с ней, они все расположены вокруг неё на расстоянии «шага короля», если говорить в шахматной терминологии.

В самом начале игры задаётся какой-то набор «живых» клеток, после чего игра запускается и далее процесс идёт итерационно по правилам:
- Если у «мёртвой» клетки есть ровно 3 «живых» соседа, то на следующем ходе она тоже «оживает». В других случаях «мёртвая» клетка не меняет состояние.
- Если у «живой» клетки 2 или 3 «живых» соседа, то она остаётся жить. В остальных случаях «живая» клетка умирает: либо от одиночества, либо от перенаселённости.

Привет!
Разберём задачу с прокомодом про Аркадия Стекова.
Напомним условие:

Аркадий Стеков откликается на вакансии на позицию «Аналитик данных». Каждая компания даёт ответ сразу же после собеседования. Аркадий прекращает ходить по собеседованиям, как только получает первый оффер.

Вероятность успешно пройти собеседование в первой же компании — 0.35. На всех следующих собеседованиях вероятность получить работу — уже 0.65. Результат каждого собеседования не зависит от других.
На какое количество собеседований должен сходить Аркадий, чтобы получить работу с вероятностью не менее 99%?

Вероятность события «Получить оффер» складывается из вероятностей событий «Получить оффер с первого раза», «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз», «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» и так далее.

Вероятность «Получить оффер с первого раза» по условию задачи равна 0.35.

Вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна произведению вероятности получить отказ в первый раз (1-0.35=0.65) и вероятности преуспеть во второй (0.65). В результате вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна 0.65*0.65.

Вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» опять же равна произведению вероятностей, но теперь уже трёх: вероятности получить отказ в первый раз (0.65), вероятности получить отказ во второй раз (1-0.65=0.35) и вероятности преуспеть в третий (0.65). В итоге вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» равна 0.65*0.35*0.65.
И так далее.
Значит, вероятность события «Получить оффер» — это вот такая сумма:
0.35 + 0.65*0.65 + 0.65*0.35*0.65 + 0.65*0.35²*0.65 + 0.65*0.35³*0.65 + …

Итак, нам нужно определить, на каком слагаемом эта сумма станет не менее, чем 0.99.
Посчитаем вручную, постепенно добавляя слагаемые и проверяя сумму после каждой итерации.

1) 0.65 < 0.99,
2) 0.35 + 0.4225 = 0.7725 < 0.99,
3) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 = 0.920375 < 0.99,
4) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 = 0.97213125 < 0.99,
5) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 + 0.0181146875 = 0.9902459375 ⩾ 0.99.
Потребовалось пять слагаемых — значит, пяти собеседований хватит, чтобы получить оффер с 99% вероятностью.

Есть и другие способы решить задачу. Например, можно пойти от обратного и вычислить вероятность того, что Аркадий не получит работу за n собеседований.

Вероятность неудачи в первый раз равна 0.65, а во все остальные разы — наоборот, по 0.35.
Эти события независимые, поэтому вероятность неуспеха во все эти разы равна произведению вероятностей неудач. Значит, вероятность не получить работу за n собеседований равна 0.65*0.35ⁿ⁻¹, и нам нужно, чтобы она была меньше 1%. Решаем:
0.65*0.35ⁿ⁻¹ < 0.01;
0.35ⁿ⁻¹ < 0.015385
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства. Оно впервые достигается при n-1=4, то есть при n=5.

Ответ: 5 собеседований

Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курсы направления анализа данных идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов!

Друзья!

Напоминаем, что до конца нашей математической акции осталось три дня — вы ещё можете решить задачу и воспользоваться промокодом на скидку 10%. Промокод действует до 13 августа на все курсы направления анализа данных.

Если вы давно собирались освоить новую профессию, то это отличный шанс начать. Решайте задачу, применяйте промокод и получайте актуальные знания!
И уже через 6-12 месяцев вы сможете претендовать на новые позиции. 😎

Условия получения скидки — в посте.
Если у вас есть вопросы по курсам, задавайте в комментариях.

Связка «и» научно называется конъюнкцией (A∧B). Такое высказывание истинно только тогда, когда все элементарные высказывания в нём истинны. Во всех остальных случаях A∧B = 0.

Тут есть важный нюанс. Бывает, что с точки зрения здравого смысла получившееся составное высказывание выглядит нелепо. Но с точки зрения математической логики всё равно можно определить его истинность или ложность.

H∧K=«Деревья выделяют кислород, и 6=7» = 1∧0 = 0.
Н∧¬К=«Деревья выделяют кислород, и 6≠7» = 1∧1 = 1.

Связка «или» называется дизъюнкция (A∨B). Для истинности дизъюнкции достаточно хотя бы одного истинного высказывания. И только в случае, если все они ложные, то и дизъюнкция будет ложной.

H∨K=«Деревья выделяют кислород, или 6=7» = 1∨0 = 1.

Чтобы не запутаться, логические операции записывают в таблицы истинности: первые столбики всегда отданы элементарным высказываниям, за ними уже идут составные. Строки принято писать по возрастанию значений А и В: 0 0, 0 1, 1 0, 1 1.

Логических операций, конечно же, гораздо больше. Ещё несколько мы разбираем в теме «Элементы логики» нашего бесплатного математического тренажёра.

Используя эти операции, компьютер делает... да примерно всё. 😁
Из простейшего — выполняет арифметические операции. Подробнее узнать, как это происходит, можно в видео от «Хекслет». Очень рекомендуем его посмотреть, если хочется лучше понимать устройство компьютера.

На одном языке с компьютером

Чтобы поговорить с компьютером, информацию нужно перевести в двоичный код. Однако этого недостаточно, чтобы выстроить полноценный диалог. Чтобы понимать компьютер, нужно мыслить как компьютер знать математическую логику. Именно поэтому ей посвящена отдельная тема нашего тренажёра по математике.

Математическая логика изучает высказывания. Высказывание — это повествовательное предложение, которое либо истинно, либо ложно. Но оно не может быть и тем, и другим одновременно.
Например: «Деревья выделяют кислород» — высказывание, и оно истинно. «6=7» — тоже высказывание, оно ложно. А вот «Будешь кофе?» и «Найдите x» — не высказывания.

Не для всех высказываний можно определить их истинность в моменте. Например, «скоро пойдёт дождь» — это высказывание, хотя в точке здесь и сейчас мы не знаем, верно ли это.

Если высказывание истинно, его значение приравнивают к единице, если ложно — к нулю.

Высказывание H=«Деревья выделяют кислород» истинно, значит, H=1.
Высказывание K=«6=7» ложно, значит, K=0.

Эти высказывания содержат всего одно утверждение, поэтому называются элементарными. Из них можно собирать более сложные, составные высказывания. Для этого используют грамматические связки «не», «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда» и другие.

Самая простая связка — это «не», логическая операция отрицания. Для высказывания A отрицание обозначают как ¬А. Оно применяется к одному высказыванию и делает истинное ложным, а ложное — истинным.

Выше было высказывание про кислород, его отрицание можно записать как ¬H=«Деревья не выделяют кислород»=0.


Остальные операции описывают отношения между двумя и более высказываниями.
Тут есть важный нюанс. Бывает, что с точки зрения здравого смысла получившееся составное высказывание выглядит нелепо. Но с точки зрения математической логики всё равно можно определить его истинность или ложность.

Остальные операции описывают отношения между двумя и более высказываниями. О них — ниже.

Теорема о бесконечных обезьянах

Сегодня мы предложим вам провести мысленный эксперимнет. Возьмём бессмертную обезьяну и посадим её за пишущую машинку. Обезьяна будет нажимать на клавиши случайным образом. Получится ли у неё что-нибудь осмысленное?

Интуитивно понятно, что когда-то что-то осмысленное получится точно.
Теорема о бесконечных обезьянах утверждает даже большее — рано или поздно обезьяна напечатает любой заранее заданный текст. Например, этот пост, текст «Богемской рапсодии», «Гарри Поттера», сценарий к «Барби» и вообще что угодно.

У теоремы есть строгое доказательство, его суть можно посмотреть в Википедии.

Идею этой теоремы использовал Х.Л. Борхес в рассказе «Всемирная библиотека». Он писал об огромной библиотеке, книги которой составляют комбинаторное сочетание символов английского алфавита, пробела, точки и запятой. Из-за этого там содержатся все мыслимые текстовые сочетания — включая известные нам произведения.

Бруклинский программист Д. Базайл вдохновился рассказом и решил пойти дальше — визуализировать такую библиотеку. В результате получился проект The library of Babylon. Это онлайн-библиотека со стенами и полками, на них лежат книги, разбитые на главы и страницы.
Там хранятся все возможные комбинации 29 символов: 26 английских букв, пробела, запятой и точки. Комбинации ограничены длиной одной страницы — примерно 3200 символов.

Всего в этой библиотеке примерно 10⁴⁶⁷⁷ книг и все возможные страницы на английском языке, которые только могут быть написаны. 🤯

Сайт предусматривает поиск. Местоположение найденного текста можно запомнить (номер полки, книги, страницы), поделиться им или вернуться позже — оно не изменится, как в настоящей библиотеке. Причём книга не хранится там в прямом смысле этого слова, она генерируется каждый раз при запросе.

На картинке результат поиска фразы "practicum is the best", найденный в одной из книг. Присылайте в комментариях свои находки. 😊

---

Ещё о случайностях в бесконечностях: ранее мы писали, как найти дату своего рождения в «хвосте» числа π.

Выкладываем решение пятничной задачи.

По условию задачи Катя сделала всё правильно:
сначала прологарифмировала T по основанию 2, получилось log₂T,
затем вычла n, получилось log₂T - n,
потом разделила на n. В итоге у неё получилось выражение
(log₂T - n) / n.

У Ани же получилось похожее выражение, но логарифм по основанию 3:
(log₃T - n) / n.

Это число обратно результату, который получила Катя. Значит, произведение этих результатов равно единице. Запишем это и будем преобразовывать выражение — посмотрите на иллюстрации!

В результате получаем, что T=6ⁿ. По условию число T было трёхзначным, подходит только вторая степень шестёрки: при n=2 получается T=216.
Ответ: T=216.

Новый день — новая задача! Сегодняшняя будет без особого приложения к реальности, но зато красивая и с историей — когда-то похожая задача попалась одному из авторов этого канала на вступительном экзамене в вуз. 😁
Попробуйте решить и вы!

Аня и Катя готовились к контрольной по математике: решали одни и те же задачки, а потом сверяли ответы. В одной из них было дано трёхзначное число T, с которым нужно было совершить несколько действий:
1) прологарифмировать по основанию 2,
2) из результата вычесть некоторое натуральное число n,
3) полученную разность разделить на то же n.

Аня случайно взяла логарифм по основанию 3 вместо 2, а Катя сделала всё правильно.

Когда девушки сверили ответы, оказалось, что числа, которые у них получились — взаимно обратны. Чему было равно исходное число T?

Ваши решения и ответы ждём, как всегда, под скрытым текстом. Разбор задачи опубликуем в понедельник.

Вспомнить нужное про логарифмы можно в постах:
• Раз
• Два
• Три

Лучшие задачи этого канала

Многим здесь нравятся посты с задачами.
Поэтому мы собрали для вас подборку самых обсуждаемых задач за всё время существования канала, enjoy 🥰

➡️ Задача про мышь
➡️ Задача про роботов и масло
➡️ Задача про курьера
➡️ Задача про бессмертных единорожек
➡️ Задача про билет на самолёт с серебристым крылом

Решения ко всем задачам даны в постах после них. Приятного вам чтива!

Привет!
Напоминаем, что вы ещё можете решить задачку и получить промокод на скидку 10% на все курсы направления анализа данных. Подробности о скидке — в исходном посте.

Скидка действует в том числе на курс «Математика для анализа данных». Расскажем главное о нём! 🥰

«Математика для анализа данных» поможет:
• закрыть пробелы в статистике и других разделах математики;
• разобраться, что «под капотом» у знакомых инструментов, и освоить новые;
• подготовиться к собеседованию;
• укрепить навыки и претендовать на вакансии, где ценят хорошее знание математики;
• решать математические задачи на Python.

Какие методы вы сможете применять после курса:
• линейную регрессию и сингулярное разложение;
• градиентный спуск и другие алгоритмы обучения нейросетей;
• косинусное расстояние между текстами;
• A/B-тесты, статистические тесты, доверительный интервал, p-value.

Кому подойдёт курс?
Курс подойдёт начинающим аналитикам и специалистам по Data Science, а также выпускникам и студентам курсов по анализу данных.

Исходное образование неважно. Если у вас нет технического образования, не беспокойтесь, вы всё поймёте: мы объясняем подробно, с примерами, графиками и интерактивами. А если техническое образование у вас есть, всё равно приходите — узнаете много нового и глубже разберётесь в знакомом. 😊

Что с обратной связью?
Наедине с математикой мы вас не оставим! 😉
• Преподаватели ответят на вопросы в чате в любой день недели.
• Кураторы поддержат морально и помогут организовать учебный процесс.
• Наставник проведёт семинары и подробнее расскажет о практическом применении теории.

Сколько стоит?
Курс стоит 30 000 рублей. Поддержка доступна 6 месяцев, материалы остаются у вас навсегда.

Хотите к нам? Добудьте промокод и присоединяйтесь!
Ссылки на другие курсы направления анализа данных — в комментариях.

Теорема о косточке

Скорее всего, вы заметили, что в математике есть много теорем с внезапными названиями. А ещё многие из них связаны с едой. 🥨
Что ж, это неудивительно: съедобные примеры близки к жизни и понятны, поэтому на них удобно объяснять.

Для иллюстрации сегодняшней теоремы возьмём сезонный фрукт — персик. Математикам пригодится идеальный: он имеет форму шара, а его косточка расположена ровно по центру и тоже имеет форму шара.
Возьмём нож и разрежем персик на две части горизонтальным надрезом ближе к верхушке. Разрез должен проходить и через косточку тоже, так что будем считать, что она достаточно мягкая.

Теперь посмотрим на разрез: мы увидим круг от косточки и вокруг него «кольцо» мякоти персика. Вычислить площадь среза мякоти несложно: нужно из площади большого круга вычесть площадь маленького.
А потом возьмём такой же персик и сделаем горизонтальный разрез ровно через его центр. На разрезе мы так же увидим круг-косточку и кольцо мякоти.

Вопрос: в каком случае площадь кольца видимой мякоти больше?
Может показаться, что эта площадь больше, когда мы режем по центру: там ведь больше радиус сечения! С другой стороны — в первом случае кольцо толще...
Здесь всё хитро: радиус сечения косточки увеличивается при приближении к центру — и делает это пропорционально увеличению радиуса сечения персика. И из-за того, что эти радиусы растут с одинаковой скоростью, площади колец мякоти в двух случаях будут одинаковыми! Наглядно это можно увидеть на анимации.

Естественно, в модели совсем необязательно думать именно про персик и его косточку. Такие же утверждения верны для любых концентрических шаров — например, для слоёв планет, для конфет с начинкой… ой, опять пример про еду. 😁

Предлагаем продолжить и написать примеры к этой теореме в комментариях. Не бойтесь приводить внезапные — они приветствуются!

Привет!
Мы в Практикуме проводим исследование профессии финансового аналитика и приглашаем на интервью. Это классная возможность помочь нам в создании образовательных программ.🌿

Кого зовём:
• Тех, кто хочет получить профессию финансового аналитика. Работать с финансовыми показателями, строить прогнозы и модели, помогать бизнесу принимать финансовые решения на основе данных.
• Тех, кто уже работает финансовым аналитиком в компании.
• Тех, кто проходил курсы по финансовой аналитике от Нетологии, Гикбрейнса, Скиллфэктори, Скиллбокса и других онлайн-платформ.

Если какой-то пункт из описания вам откликается — заполняйте форму. Поговорим о сложностях в обучении, об освоении профессии и трудоустройстве.

Интервью пройдёт в зуме и займёт около 40 минут. С теми, кто заполнит форму, мы свяжемся и подберём удобное время.

В благодарность за помощь мы подарим бонус от Практикума.🌟

Как математики решают бытовые проблемы

Часто говорят, что математика далека от реальности и совсем не помогает в жизненных ситуациях. Конечно, математики много занимаются теорией, но и бытовые проблемы им близки. Например, выбор… туалета! 😅 

Лето — пора фестивалей. Но большое скопление людей может неблагоприятно влиять на чистоту ватер-клозетов. В какой-то момент встаёт вопрос: как выбрать лучший туалет — наиболее чистый из всех и благоухающий свежестью.
Вполне себе математическая задача! К ней у нас два видео:
• В первом рассказывают стратегию выбора того самого туалета. Ну или хотя бы близкого к этому. :)
• Во втором видео объясняется с математической точки зрения, откуда взялась именно такая стратегия и почему она лучшая из возможных.

Если коротко: при больших количествах туалетов надо отвергнуть первые 37%, а потом внимательно смотреть по очереди. Как только какой-то туалет окажется лучше всех предыдущих, нужно остановиться и использовать его. Эта стратегия гарантирует 37%-ную же (так совпало) вероятность, что вы таким образом найдёте действительно наилучший туалет. А во всех остальных случаях он будет, как минимум, не плохим. 😉

Вот так математика помогает решить очень даже бытовую задачу, хоть и специфичную.
На самом деле, эта ситуация — переформулировка задачи о разборчивой невесте, мы уже писали о ней. Рекомендуем вам посмотреть посты об этой задаче, они были одним из наших первых хитов. 😇 
Возможно, выглядит странным, что выбор туалета и выбор мужа идут по одной стратегии, но обе проблемы — точно жизненные!

А что касается туалетов… в комментариях к исходному видео предлагают просто выбирать первый — он наверняка очень чистый, раз по алгоритму никто не может его выбрать. Но такая хитрость, конечно, сработает только на математических фестивалях. 😁

Разберём вчерашнюю задачу про пауэрлифтиг.
Её можно решить разными способами — используя разные свойства логарифма.

Начало у обоих способов одинаковое. Вес (масса), который может поднимать Василий в день номер x по условию равен 12*log₂(x). Значит, в конце первой недели (на седьмой день) этот вес равен 12*log₂7, а на 343-й день — 12*log₂343.

Запишем частное и упростим:
12*log₂343 / 12*log₂7 = log₂343 / log₂7.
Дальше можно использовать либо третье свойство из вчерашнего поста, либо четвёртое.

Способ 1. Через вынесение степени:
log₂343 / log₂7 = log₂7³ / log₂7 = 3*log₂7 / log₂7 = 3.

Способ 2. Через переход к новому основанию (в обратную сторону):
log₂343 / log₂7 = log₇343 = 3.

Значит, вес, который поднимает Василий, увеличился в 3 раза.

Желаем и вам успехов в качалке! 🏋️‍♀️

А теперь — задача!

Василий увлёкся пауэрлифтингом и начал ходить в спортзал. Василий замерил свой прогресс и оказалось, что он соответствует функции y=12*log₂(x), где x — номер дня с момента начала тренировок, а y — вес (масса), который он поднял в этот день.

Спустя почти год Василий решил оценить свой прогресс. Для этого он сравнил результаты в конце первой недели тренировок и на 343 день. Во сколько раз увеличился поднимаемый им вес за это время?

Ваши ответы и решения ждём под скрытым текстом.

Мы уже упоминали свойства логарифмов и решали с их помощью задачу про размножение бактерий.
А сегодняшняя будет про качалку! 💪
И решить её тоже помогут свойства логарифмов, но уже новые. Их здесь и разберём.
Если вы их хорошо помните — переходите сразу к задачке. :)
#объясняем_школьное

1) Внесение степени в логарифм:
n*logₐb = logₐbⁿ.
Для доказательства этого свойства нам понадобится информация о степенях. Мы знаем, что (aᵏ)ᵗ=aᵏᵗ.
Поместим логарифм в показатель степени:
a^{n*logₐb} = (a^{logₐb})ⁿ = bⁿ = a^{logₐbⁿ}.
Выражения по краям равны, основания равны — значит, равны и показатели: n*logₐb = logₐbⁿ. Доказали.

Пример с числами:
4*log₉3 = log₉3⁴ = log₉81 = 2.
Проверить корректность можно, вычислив исходный логарифм по определению: 4*log₉3 = 4*0.5 = 2.

2) Внести степень можно и в основание логарифма. Но только если коэффициент перед логарифмом был дробный — нам потребуется знаменатель этой дроби.

Пример с числами:
1/3*log₅125 = log₁₂₅125 = 1. Здесь 3 из знаменателя перед логарифмом превратила его основание в 5³, то есть в 125.

3) Степени можно не только вносить под логарифм, но и выносить из-под него. В эту сторону чуть сложнее — появляется модуль.
Мнемоническое правило, что куда выносить: «верхнюю» степень выносят наверх (как числитель), а «нижнюю» степень выносят вниз (в знаменатель).

Пример с числами: log₈16 = 4/3 * log₂2 = 4/3.

4) Переход к новому основанию:
logₐb = logᵥb / logᵥa.
Это свойство — ну очень полезное! Оно помогает считать разные логарифмы без калькулятора.

Докажем его.
Приведём logₐb к основанию v. Для этого возьмём логарифм числа b по основанию v: logᵥb.
С помощью основного логарифмического тождества его можно записать так:
logᵥb = logᵥa^{logₐb}.
Здесь под логарифмом стоит степень. Вынесем её за пределы логарифма:
logᵥb = logᵥa^{logₐb} = logₐb*logᵥa.
Выражаем logₐb = logᵥb/logᵥa. Это мы и хотели доказать!

Это свойство позволяет упрощать выражения или приводить их к тому основанию, которое нам для чего-нибудь требуется. Например:
log₅32 = log₂32/log₂5 = 5/log₂5.