Теорема о косточке

Скорее всего, вы заметили, что в математике есть много теорем с внезапными названиями. А ещё многие из них связаны с едой. 🥨
Что ж, это неудивительно: съедобные примеры близки к жизни и понятны, поэтому на них удобно объяснять.

Для иллюстрации сегодняшней теоремы возьмём сезонный фрукт — персик. Математикам пригодится идеальный: он имеет форму шара, а его косточка расположена ровно по центру и тоже имеет форму шара.
Возьмём нож и разрежем персик на две части горизонтальным надрезом ближе к верхушке. Разрез должен проходить и через косточку тоже, так что будем считать, что она достаточно мягкая.

Теперь посмотрим на разрез: мы увидим круг от косточки и вокруг него «кольцо» мякоти персика. Вычислить площадь среза мякоти несложно: нужно из площади большого круга вычесть площадь маленького.
А потом возьмём такой же персик и сделаем горизонтальный разрез ровно через его центр. На разрезе мы так же увидим круг-косточку и кольцо мякоти.

Вопрос: в каком случае площадь кольца видимой мякоти больше?
Может показаться, что эта площадь больше, когда мы режем по центру: там ведь больше радиус сечения! С другой стороны — в первом случае кольцо толще...
Здесь всё хитро: радиус сечения косточки увеличивается при приближении к центру — и делает это пропорционально увеличению радиуса сечения персика. И из-за того, что эти радиусы растут с одинаковой скоростью, площади колец мякоти в двух случаях будут одинаковыми! Наглядно это можно увидеть на анимации.

Естественно, в модели совсем необязательно думать именно про персик и его косточку. Такие же утверждения верны для любых концентрических шаров — например, для слоёв планет, для конфет с начинкой… ой, опять пример про еду. 😁

Предлагаем продолжить и написать примеры к этой теореме в комментариях. Не бойтесь приводить внезапные — они приветствуются!