Мы уже упоминали свойства логарифмов и решали с их помощью задачу про размножение бактерий.
А сегодняшняя будет про качалку! 💪
И решить её тоже помогут свойства логарифмов, но уже новые. Их здесь и разберём.
Если вы их хорошо помните — переходите сразу к задачке. :)
#объясняем_школьное

1) Внесение степени в логарифм:
n*logₐb = logₐbⁿ.
Для доказательства этого свойства нам понадобится информация о степенях. Мы знаем, что (aᵏ)ᵗ=aᵏᵗ.
Поместим логарифм в показатель степени:
a^{n*logₐb} = (a^{logₐb})ⁿ = bⁿ = a^{logₐbⁿ}.
Выражения по краям равны, основания равны — значит, равны и показатели: n*logₐb = logₐbⁿ. Доказали.

Пример с числами:
4*log₉3 = log₉3⁴ = log₉81 = 2.
Проверить корректность можно, вычислив исходный логарифм по определению: 4*log₉3 = 4*0.5 = 2.

2) Внести степень можно и в основание логарифма. Но только если коэффициент перед логарифмом был дробный — нам потребуется знаменатель этой дроби.

Пример с числами:
1/3*log₅125 = log₁₂₅125 = 1. Здесь 3 из знаменателя перед логарифмом превратила его основание в 5³, то есть в 125.

3) Степени можно не только вносить под логарифм, но и выносить из-под него. В эту сторону чуть сложнее — появляется модуль.
Мнемоническое правило, что куда выносить: «верхнюю» степень выносят наверх (как числитель), а «нижнюю» степень выносят вниз (в знаменатель).

Пример с числами: log₈16 = 4/3 * log₂2 = 4/3.

4) Переход к новому основанию:
logₐb = logᵥb / logᵥa.
Это свойство — ну очень полезное! Оно помогает считать разные логарифмы без калькулятора.

Докажем его.
Приведём logₐb к основанию v. Для этого возьмём логарифм числа b по основанию v: logᵥb.
С помощью основного логарифмического тождества его можно записать так:
logᵥb = logᵥa^{logₐb}.
Здесь под логарифмом стоит степень. Вынесем её за пределы логарифма:
logᵥb = logᵥa^{logₐb} = logₐb*logᵥa.
Выражаем logₐb = logᵥb/logᵥa. Это мы и хотели доказать!

Это свойство позволяет упрощать выражения или приводить их к тому основанию, которое нам для чего-нибудь требуется. Например:
log₅32 = log₂32/log₂5 = 5/log₂5.