Сегодня мы хотим предложить вам решить задачку про скорость размножения бактерий. Для описания многих биологических и экономических моделей нужны знания о показательных функциях. А где степени с показателями — там и логарифмы! И именно благодаря логарифмам и их свойствам мы сможем получить красивый ответ.
Что такое
Первое правило клуба любителей логарифмов: логарифм — это степень. Если держать в голове это утверждение и свойства степеней, то большая часть понимания уже будет с вами. Чем же так прекрасны логарифмы?
1) Сумма логарифмов равна логарифму произведения
Эта формула есть на изображении выше. Чтобы её доказать — вспомним свойство степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, то есть aᵏ × aᵗ = aᵏ⁺ᵗ. Так, например, 2³ × 2² = 2⁵ = 32.
Логарифм — это степень, значит, показатели можно заменить логарифмами.
Пусть aᵏ = m, aᵗ = n, тогда k = logₐm, t = logₐn.
Получаем, что aᵏ⁺ᵗ = aᵏ × aᵗ = a^{logₐm} × a^{logₐn} = m × n = a^{logₐ(m*n)}.
Значит, показатели равны: k + t = logₐ(m*n), то есть logₐm + logₐn = logₐ(m*n).
С числами это свойство выглядит так:
log₂8 + log₂4 = log₂(8*4) = log₂32 = 5.
2) Разность логарифмов равна логарифму частного
Формула тоже есть на картинке выше. Это ещё одно свойство степени, переведённое на язык логарифмов.
Как было у степеней: aᵏ / aᵐ = aᵏ⁻ᵐ.
Снова обозначим aᵏ = m, aᵗ = n, тогда k = logₐm, t = logₐn.
Как будет с логарифмами: aᵏ⁻ᵗ = aᵏ / aᵗ = a^{logₐm} / a^{logₐn} = m/n = a^{logₐ(m/n)}.
Отсюда и показатели равны:
k - t = logₐm - logₐn = logₐ(m/n).
Числовая версия: log₂8 - log₂4 = log₂(8/4) = log₂2 = 1.
Оба эти свойства работают и в обратную сторону, только там будут появляться модули:
logₐ(m*n) = logₐ|m| + logₐ|n|.
logₐ(m/n) = logₐ|m| - logₐ|n|.