Собственно, логарифм — это и есть нужный нам математический объект.

Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Обозначается как logₐb. То есть для уравнения вида a^x=b логарифм — это тот самый показатель x, превращатель числа из левой части (a) в число из правой части (b).

В записи x=logₐb числа a и b должны быть строго положительным, при этом основание a ещё и не равно 1 (так как единичка в любой степени остаётся единичкой, ничего другого из неё всё равно не получится).

Равенство 2⁴=16 можно также воспринимать как «логарифм 16 по основанию 2 равен 4», то есть log₂16=4. У этого логарифма хорошее целое значение — четвёрка. Ну а логарифм 10 по основанию 2 — это иррациональное число, поэтому его так и оставляют: log₂10. Именно это число будет решением уравнения 2^x=10 (потому что превращает 2 в 10).

Значение логарифма не обязательно будет целым или положительным, ведь и показатель степени тоже не всегда красивый. Вычислим, например, log₃(1/9). Чтобы получить 1/9, тройку нужно возвести в степень -2, значит, log₃(1/9)=-2.

А теперь следите за руками! Так как логарифм — это показатель степени, то его можно в этот самый показатель и записать: a^{logₐb}=b. Полученное выражение называют основным логарифмическим тождеством, оно также есть внизу иллюстрации. Степень logₐb обещает превратить число a в число b — так и происходит!

А вот примерчики для вас: вычислите log₄64, log₈₁9, log₅(1/125).
Ответы, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.

В посте с вашими запросами было несколько как раз про логарифмы. Надеемся, что смогли прояснить картину. :)
Если нет — то пишите в комменты, что ещё рассказать про логарифмы.