Разберём задачу с прокомодом про Аркадия Стекова.
Напомним условие:
Аркадий Стеков откликается на вакансии на позицию «Аналитик данных». Каждая компания даёт ответ сразу же после собеседования. Аркадий прекращает ходить по собеседованиям, как только получает первый оффер.
Вероятность успешно пройти собеседование в первой же компании — 0.35. На всех следующих собеседованиях вероятность получить работу — уже 0.65. Результат каждого собеседования не зависит от других.
На какое количество собеседований должен сходить Аркадий, чтобы получить работу с вероятностью не менее 99%?Вероятность события «Получить оффер» складывается из вероятностей событий «Получить оффер с первого раза», «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз», «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» и так далее.
Вероятность «Получить оффер с первого раза» по условию задачи равна 0.35.
Вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна произведению вероятности получить отказ в первый раз (1-0.35=0.65) и вероятности преуспеть во второй (0.65). В результате вероятность «Получить отказ в первый раз, но успешно пройти на второй раз» равна 0.65*0.65.
Вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» опять же равна произведению вероятностей, но теперь уже трёх: вероятности получить отказ в первый раз (0.65), вероятности получить отказ во второй раз (1-0.65=0.35) и вероятности преуспеть в третий (0.65). В итоге вероятность «Получить отказ в первые два раза, но преуспеть в третий» равна 0.65*0.35*0.65.
И так далее.
Значит, вероятность события «Получить оффер» — это вот такая сумма:
0.35 + 0.65*0.65 + 0.65*0.35*0.65 + 0.65*0.35²*0.65 + 0.65*0.35³*0.65 + …
Итак, нам нужно определить, на каком слагаемом эта сумма станет не менее, чем 0.99.
Посчитаем вручную, постепенно добавляя слагаемые и проверяя сумму после каждой итерации.
1) 0.65 < 0.99,
2) 0.35 + 0.4225 = 0.7725 < 0.99,
3) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 = 0.920375 < 0.99,
4) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 = 0.97213125 < 0.99,
5) 0.35 + 0.4225 + 0.147875 + 0.05175625 + 0.0181146875 = 0.9902459375 ⩾ 0.99.
Потребовалось пять слагаемых — значит, пяти собеседований хватит, чтобы получить оффер с 99% вероятностью.
Есть и другие способы решить задачу. Например, можно пойти от обратного и вычислить вероятность того, что Аркадий не получит работу за n собеседований.
Вероятность неудачи в первый раз равна 0.65, а во все остальные разы — наоборот, по 0.35.
Эти события независимые, поэтому вероятность неуспеха во все эти разы равна произведению вероятностей неудач. Значит, вероятность не получить работу за n собеседований равна 0.65*0.35ⁿ⁻¹, и нам нужно, чтобы она была меньше 1%. Решаем:
0.65*0.35ⁿ⁻¹ < 0.01;
0.35ⁿ⁻¹ < 0.015385
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства. Оно впервые достигается при n-1=4, то есть при n=5.
Ответ: 5 собеседований
Поздравляем всех, кто воспользовался промокодом. Набор на курсы направления анализа данных идёт постоянно, можно присоединиться в любой день. Будем рады видеть вас среди студентов!