GeoCraft

В предыдущем посте я неформально описал некоторую двойственность между евклидовыми теоремами и привел пример двойственных теорем. А вот еще один пример двойственных теорем:

1. Центр описанной около треугольника прямоугольной гиперболы лежит на окружности Эйлера.
2. Прямые Симсона антисерединного треугольника есть оси вписанных парабол.

Еще раз повторю общий принцип: берём евклидову теорему -> поднимаем её в невырожденную геометрию Кэли-Клейна -> применяем там поляритет относительно абсолюта -> спускаем результат обратно в евклидову геометрию (вырождая абсолют) и получаем новую евклидову теорему. Конечно, это можно делать не только с теоремами про параболы и прямоугольные гиперболы (например, так можно превращать углы в расстояния и наоборот).

Окружность Эйлера (она поднимается в кубику) двойственна антидополнению дельтоиды Штейнера. Эту двойственность можно расширять и дальше, составив словарик двойственных объектов. Оставлю эту задачу заинтересованным геометрам.

Аполярность, неевклидовы коники и двойственность

Многим известно, насколько важны свойства прямоугольных гипербол и парабол для доказательства даже тех евклидовых теорем, где коники отсутствуют. При этом чаще пригождаются те их свойства, которые основаны на проективных отношениях с евклидовым абсолютом (круговыми точками) — метрика задевается редко. Я решил проверить, можно ли развить аналогичную теорию для неевклидовых коник. Их можно описывать как с точки зрения внутренних терминов конкретной геометрии, так и выходить за её пределы — в геометрию Кэли-Клейна, задавая проективные отношения с абсолютом — произвольной коникой на CP2, которую я здесь буду считать гладкой.

Мне понадобится понятие аполярности. Здесь я определю его геометрически только для коник, поскольку геометрическая интерпретация для кривых более высокого порядка мне неизвестна. Алгебраическую суть напишу в комментариях. Для коник это понятие удобно разбить на пару двойственных:

Коника C называется эксполярной конике K, если на C есть вписанный треугольник, автополярный относительно K.
Коника C называется инполярной конке K, если на C есть описанный треугольник, автополярный относительно K.

С эксполярна K <=> K инполярна C

Частными случаями этого отношения являются сопряжённость точек/прямых относительно коники, инцидентность точки/прямой и коники, гармоничность пар точек. Не гарантирую, что здесь везде найдется автополярный треугольник, потому что некоторые вещи всё-таки лучше понимать алгебраически.

Для вырожденного евклидова абсолюта эксполярность задаёт прямоугольную гиперболу (<=> гармоническая сопряженность пересечений с БУП), а инполярность задаёт параболу (<=> БУП сопряжена сама себе). Это даёт способ обобщить понятия параболы и прямоугольной гиперболы на произвольный абсолют Кэли-Клейна.

Параболой назовём конику, инполярную абсолюту. Прямоугольной гиперболой назовём конику, эксполярную абсолюту. Эти объекты не имеют ничего общего с этимологическим и историческим смыслом соответствующих терминов, но при вырождении абсолюта превращаются в привычные параболу и прямоугольную гиперболу.

[ Имеет смысл рассматривать и другую параболу — конику, пересекающую абсолют в одной двойной точке. Такая парабола имеет фокально-директориальное определение. То есть в евклидовой геометрии совпали два совершенно разных объекта. ]

Для этих коник можно сформулировать следующие две теоремы:
[ ортоцентром треугольника ABC называется перспектор ABC и треугольника из поляр A, B, C относительно абсолюта ]
1. Ортоцентр треугольника, описанного около параболы, лежит на конике, полярной параболе относительно абсолюта.
2. Ортоцентр треугольника, вписанного в прямоугольную гиперболу, лежит на этой же гиперболе.
Заметьте, что эти теоремы проективно двойственны.

Основной теоремой, связывающей аполярность коник с евклидовой геометрией, является теорема Гаскина: окружность эксполярна конике тогда и только тогда, когда она ортогональна ортоптике этой коники. Из этой теоремы можно получить очень много нетривиальных следствий, например это (доказал Петр Мамонов). Желающие могут попробовать обобщить теорему Гаскина на произвольный абсолют. Но сейчас не об этом.

Из определений понятно, что в геометрии с невырожденным абсолютом парабола и прямоугольная гипербола — проективно двойственные объекты. Значит любому свойству параболы соответствует свойство прямоугольной гиперболы, и обратно. Вырождая абсолют, получаем соответствие между евклидовыми теоремами, которым в евклидовых формулировках и не пахнет. Например, из теорем 1 и 2 при вырождении абсолюта получаются теоремы:
1. Ортоцентр описанного около параболы треугольника лежит на её директрисе;
2. Ортоцентр вписанного в прямоугольную гиперболу треугольника лежит на ней же,
которые, выходит, оказались нетривиальным образом двойственны.

Напоследок замечу: в геометриях с невырожденным абсолютом существуют гладкие вещественные коники, которые одновременно являются и параболой, и прямоугольной гиперболой.

Через фокус параболы проведена хорда. Красная окружность имеет в качестве диаметра эту хорду. Докажите, что существует окружность, касающаяся параболы и проходящая через 4 точки.

Авторская задача с секретом.

[продолжение]

Идею для осуществления этого метода мне два месяца назад дала книга "Алгебраические группы и поля классов" Ж.-П. Серра. А именно, раздел, в котором развивается теория так называемого обобщённого якобиана алгебраической кривой. Теория там относительно абстрактная и далёкая от классической проективной геометрии, поэтому сразу перейду к тому, что у меня из этого вышло.

Попробую объяснить как можно доступнее. Проще всего представить обобщённый якобиан кубики с двумя точками на ней как множество всех пар (X, k), где X — точка кубики, а k — число. На этом множестве можно ввести операцию, которая сделает его абелевой группой. Само построение отображения и операции, как и в случае классического сложения, незначительно для наших приложений, поэтому я почти не буду его описывать. Итак, зафиксируем на CP2 кубику 𝓔 и две точки A, B на ней. Выберем на 𝓔 точку перегиба O. Операция выглядит так: (X1,k1)*(X2,k2)=(X1+X2,k1*k2*c), где + обозначает обычное сложение с нулём O, а с — некоторое число, зависящее от X1 и X2, которое вычисляется через двойное отношение прямых в определении операции сложения. Касательная к 𝓔 в O пересекает AB в T. Введём функцию f, которая отображает каждую точку Y прямой AB, кроме {A, B}, в двойное отношение [A, B; T, Y]. Формально — в пару (O, [A, B; T, Y]). Функция g будет отображать каждую точку X кубики, кроме {A, B}, в пару (X, 1). Если некоторая алгебраическая кривая 𝓒 пересекает кубику 𝓔 (или прямую AB) в точках X1, ..., Xn с кратностями m_1, ..., m_n, то будем говорить, что 𝓒 пересекает её по дивизору D = m_1 X1 + ... + m_n X_n. Значение функций f и g на дивизоре пересечения определим как g(D) = g(X1)^m_1 * ... * g(Xn)^m_n, f аналогично (умножение здесь означает операцию в обобщённом Якобиане). Важно, что пары (O, k) с первой нейтральной координатой образуют подгруппу. Теперь можно сформулировать основное утверждение, которое пополнит семейство BRL, CRL, ARL, PCRL, DCRL, — Elliptic-Rational Lemma, или просто ERL.

Пусть алгебраическая кривая 𝓒 не проходит через A, B и пересекает 𝓔 по дивизору E, а прямую AB по дивизору L. Тогда f(L)=g(E).

Частные случаи для прямой и коники смотрите на картинках выше. Теперь возникает вопрос, как это дело применить к задачам проективной и элементарной геометрии. К сожалению, мне не удалось найти утверждения, в которых этот метод позволил бы доказать безусловную инцидентность, хотя критерий очень прост: прямые PQR и UVW пересекаются на AB <=> g(P)g(Q)g(R)=g(U)g(V)g(W) — точно как в CRL. Еще есть идея перебрасывать соотношения между ERL и CRL — между кубикой и коникой через прямую. В общем, было бы хорошо найти интересные приложения для доказательства теорем инцидентности, а не только проецировать геометрию с кубики на прямую. Но чтобы было понятно, что метод работает, я прилагаю в комментариях два утверждения, которые я получил с его помощью.

ERL

Сложение точек на кубике становится всё популярнее как метод решения задач элементарной геометрии. Он часто прост в использовании, но обладает и множеством недостатков, которые делают его не настолько хорошим инструментом для геометра, каким он кажется олимпиаднику. Этот метод позволяет доказать конкурентность прямых, коллинеарность точек и многое другое. Но он не расскажет, чем является точка пересечения в терминах объемлющей геометрии (треугольника, четырёхвершинника). Основная причина — вы не можете уместить всю геометрию на одну кубику и интерпретировать на ней все возможные соотношения. Я не предлагаю решение данной проблемы, но расскажу, пока без подробностей, о методе, обобщающем сложение точек, который делает маленький шаг в этом направлении.

Интересная теорема. Если a, b, c, d — длины общих касательных к эллипсу и окружности, то для некоторой расстановки знаков ± 1/a ± 1/b ± 1/c ± 1/d = 0

Поризм Дарбу

Четырехугольник ABCD согнули по диагонали AC, затем по диагонали BD (названия точек остались прежними, A и D остаются на месте). Эту композицию двух сгибов повторили N раз. Если после этого все вершины вернулись на свои места, то будем говорить, что такой четырёхугольник N-периодичен. Тогда если ABCD N-периодичен, то любой четырёхугольник с такой же последовательностью длин сторон, как у ABCD, также N-периодичен.

Эту красивую теорему я нашел в статье https://arxiv.org/abs/1501.07157, где автор подошёл к ней с позиции эллиптических кривых. В статье есть еще несколько элементарных результатов, таких как критерии N-периодичности для малых N. Интересно, что теорема имеет неплохую интерпретацию через поризм Понселе.

Дан треугольник ABC и точки X, Y. Как построить изогонально сопряженные точки P, Q такие, что четырёхугольник PXQY гармонический?

Данная задача является обобщением следующей известной теоремы: фокусы вписанных коник с изогонально сопряженными центрами образуют гармонический четырёхугольник (случай, когда X, Y изогонально сопряжены).

Теорема Фейербаха на кубике

Докажите, что если в кубику удалось вписать* 12 окружностей, то их можно разделить на три четвёрки так, что у каждой четверки существует общая касательная окружность (на рисунке - пример такой четвёрки).

* Не обязательно вещественная окружность вписана в кубику, если она касается кубики в трёх не обязательно вещественных точках.

В общем случае таких окружностей ровно 12, но иногда некоторые могут совпадать. Рисунок правильный, но точки касания не все вещественны.

Точки P, Q антигонально сопряжены в выделенном треугольнике. Доказать вписанность.

Решение и комментарий (upd: если у Вас не отображается условие задачи, смотрите комментарии к этому посту)

Во-первых, заметим, что при помощи линейки из условия задачи можно построить следующее:
- касательную к эллипсу в данной точке
- середину отрезка и центральную симметрию
- центр эллипса

Назовём эллипс 𝒮. Построим G - центр 𝒮. Выберем на 𝒮 некоторую точку A. Отметим середину AG и отразим её относительно G - пусть получили точку M. Проведем через M прямую, параллельную касательной в A к 𝒮 и пересекающую эллипс в двух точках B, C. Понятно, что 𝒮 - описанный эллипс Штейнера треугольника ABC. Заметим также, что наша линейка умеет строить изотомическое сопряжение (в т.ч. точек на бесконечности).

Теорема. Точки, изотомически сопряжённые направлениям сторон треугольника Морли, образуют правильный треугольник.

При помощи трисектора построим треугольник Морли и сопряжём изотомически бесконечно удалённые точки его сторон. Полученные точки лежат на 𝒮, поскольку 𝒮 и БУП меняются местами при изотомическом сопряжении. По теореме этот треугольник правильный, т.е. задача решена ◽️


Сформулированная теорема верна не только для изотомического, но и для изогонального сопряжения. Знакомые с понятием изосопряжения могут спросить, верно ли это для каких-нибудь других изосопряжений. Существует множество эквивалентных способов обобщить изотомическое и изогональное сопряжения, но здесь я буду называть изосопряжением с полюсом P следующее преобразование.

Зафиксируем некоторый пучок коник, относительно которого треугольник автополярен. Как известно, поляры точки относительно всех коник пучка конкурентны. Сопоставим каждой точке пересечение её поляр. Получаем инволютивное преобразование, которое задаётся по образу одной точки. Образ центра масс треугольника будем называть полюсом P изосопряжения. Например, изосопряжение с полюсом в центре масс - изотомическое споряжение, а с полюсом в точке Лемуана - изогональное.

Мной был открыт следующий факт, который я предлагаю желающим доказать. У меня есть только компьютерное доказательство, а обратную теорему и с компьютером доказать не получилось ввиду сложности выражения координат вершин треугольника Морли через стороны ABC.

Теорема. Пусть G, K - центр масс и точка Лемуана треугольника ABC. Точка P выбрана на конике (ABCGK). Тогда изосопряжение с полюсом P переводит направления сторон треугольника Морли в вершины правильного треугольника.

Но вписать в эллипс правильный треугольник можно и другим способом. Об этом будет следующий пост (но это не точно).

✏️ На евклидовой плоскости нарисован эллипс. Впишите в него правильный треугольник при помощи только линейки и трисектора угла.

📏 Линейка умеет делать это и только это:

- проводить прямую через две точки и отмечать точку на прямой и на эллипсе;
- проводить через данную точку прямую, параллельную данной;
- пересекать прямые с прямыми и с эллипсом.

#авторская

Комментарий к задаче. Треугольник - это одновременно и неупорядоченная тройка прямых, и неупорядоченная тройка точек. А вот четырехугольники бывают разные. В четырехстороннике и четырехвершиннике можно найти парные преобразования: они вырождаются в одно и то же преобразование, если правильно выродить четверку точек или четверку прямых в треугольник. Тогда возникает вопрос: как выглядит анти-Штейнер в четырехвершиннике? Опыт подсказывает, что он вовсе не обязан быть "похож" на анти-Штейнера в треугольнике. Например, в четырехстороннике изогональное сопряжение - это сопоставление второго фокуса вписанной коники (но не сопряжение Клоусона, которое с ним совпадает при сужении на кубику фокусов). Изогональное сопряжение в четырехвершиннике вообще почти не изучено, и ничего "изогонального" в нем даже нет. Но оно обладает тем свойством вырождения, о котором я написал выше. Как раз таки это преобразование позволяет обобщать многие свойства изогонального сопряжения в треугольнике на четырехвершинник.

В геометрии треугольника можно поставить следующий вопрос: как построить изогонально сопряженные точки с данной серединой? И это очень простой вопрос, потому что достаточно построить вписанную конику с таким центром. Но как сделать это циркулем и линейкой? Такое построение существует, и оно как раз требует такое понятие, как точка анти-Штейнера. Изогональное сопряжение в четырехвершиннике не порождает никаких вписанных коник. Поэтому в попытке строить изогонально сопряженные с данной серединой в четырехвершиннике можно рассчитывать либо на другое геометрическое построение, либо на координаты. Второй подход даже при сильных упрощениях себя не оправдал - уравнение слишком сложное. И единственный на данный момент вариант - искать анти-Штейнера в четырехвершиннике, чтобы обобщить аналогичное построение в треугольнике. Зачем это нужно? Чтобы определить еще одно не менее интересное преобразование.

Точка анти-Штейнера в четырёхстороннике #авторская

На прямой Обера (жёлтая) синего четырехсторонника выбрана произвольная точка P. Через P проводится прямая ℓ переменного направления. Отражения ℓ относительно всех сторон синего четырехсторонника образуют красный четырехсторонник. Докажите, что его

а) (анти-Штейнер) точка Микеля ездит по окружности;

б) прямая Гаусса проходит через фиксированную точку;
в) прямая Обера проходит через фиксированную точку.

#авторская

Сегодня вспомнил, что точки Шалтая и Болтая равноудалены от центра окружности Эйлера. Придумал похожее утверждение.

#неавторская

Точка P, отличная от центра I вписанной окружности треугольника ABC, выбрана так, что её антипедальный треугольник T имеет ортоцентр I.

❓Докажите, что P удалена от центра описанной окружности треугольника ABC на расстояние R+r.

❔ Как построить такую точку?
❔ Сколько существует таких точек?

И пара интересных частных случаев.

1) Если окружности концентричны в центре девяти точек, то все три выделенных треугольника имеют общий центр масс.

2) Если окружности концентричны в точке Фейербаха тангенциального треугольника, то общий центр масс является этой же точкой.

Второе утверждение равносильно следующему свойству точки Фейербаха: удвоенная сумма красных векторов равна сумме зеленых.