Решение и комментарий (upd: если у Вас не отображается условие задачи, смотрите комментарии к этому посту)

Во-первых, заметим, что при помощи линейки из условия задачи можно построить следующее:
- касательную к эллипсу в данной точке
- середину отрезка и центральную симметрию
- центр эллипса

Назовём эллипс 𝒮. Построим G - центр 𝒮. Выберем на 𝒮 некоторую точку A. Отметим середину AG и отразим её относительно G - пусть получили точку M. Проведем через M прямую, параллельную касательной в A к 𝒮 и пересекающую эллипс в двух точках B, C. Понятно, что 𝒮 - описанный эллипс Штейнера треугольника ABC. Заметим также, что наша линейка умеет строить изотомическое сопряжение (в т.ч. точек на бесконечности).

Теорема. Точки, изотомически сопряжённые направлениям сторон треугольника Морли, образуют правильный треугольник.

При помощи трисектора построим треугольник Морли и сопряжём изотомически бесконечно удалённые точки его сторон. Полученные точки лежат на 𝒮, поскольку 𝒮 и БУП меняются местами при изотомическом сопряжении. По теореме этот треугольник правильный, т.е. задача решена ◽️


Сформулированная теорема верна не только для изотомического, но и для изогонального сопряжения. Знакомые с понятием изосопряжения могут спросить, верно ли это для каких-нибудь других изосопряжений. Существует множество эквивалентных способов обобщить изотомическое и изогональное сопряжения, но здесь я буду называть изосопряжением с полюсом P следующее преобразование.

Зафиксируем некоторый пучок коник, относительно которого треугольник автополярен. Как известно, поляры точки относительно всех коник пучка конкурентны. Сопоставим каждой точке пересечение её поляр. Получаем инволютивное преобразование, которое задаётся по образу одной точки. Образ центра масс треугольника будем называть полюсом P изосопряжения. Например, изосопряжение с полюсом в центре масс - изотомическое споряжение, а с полюсом в точке Лемуана - изогональное.

Мной был открыт следующий факт, который я предлагаю желающим доказать. У меня есть только компьютерное доказательство, а обратную теорему и с компьютером доказать не получилось ввиду сложности выражения координат вершин треугольника Морли через стороны ABC.

Теорема. Пусть G, K - центр масс и точка Лемуана треугольника ABC. Точка P выбрана на конике (ABCGK). Тогда изосопряжение с полюсом P переводит направления сторон треугольника Морли в вершины правильного треугольника.

Но вписать в эллипс правильный треугольник можно и другим способом. Об этом будет следующий пост (но это не точно).