Аполярность, неевклидовы коники и двойственность

Многим известно, насколько важны свойства прямоугольных гипербол и парабол для доказательства даже тех евклидовых теорем, где коники отсутствуют. При этом чаще пригождаются те их свойства, которые основаны на проективных отношениях с евклидовым абсолютом (круговыми точками) — метрика задевается редко. Я решил проверить, можно ли развить аналогичную теорию для неевклидовых коник. Их можно описывать как с точки зрения внутренних терминов конкретной геометрии, так и выходить за её пределы — в геометрию Кэли-Клейна, задавая проективные отношения с абсолютом — произвольной коникой на CP2, которую я здесь буду считать гладкой.

Мне понадобится понятие аполярности. Здесь я определю его геометрически только для коник, поскольку геометрическая интерпретация для кривых более высокого порядка мне неизвестна. Алгебраическую суть напишу в комментариях. Для коник это понятие удобно разбить на пару двойственных:

Коника C называется эксполярной конике K, если на C есть вписанный треугольник, автополярный относительно K.
Коника C называется инполярной конке K, если на C есть описанный треугольник, автополярный относительно K.

С эксполярна K <=> K инполярна C

Частными случаями этого отношения являются сопряжённость точек/прямых относительно коники, инцидентность точки/прямой и коники, гармоничность пар точек. Не гарантирую, что здесь везде найдется автополярный треугольник, потому что некоторые вещи всё-таки лучше понимать алгебраически.

Для вырожденного евклидова абсолюта эксполярность задаёт прямоугольную гиперболу (<=> гармоническая сопряженность пересечений с БУП), а инполярность задаёт параболу (<=> БУП сопряжена сама себе). Это даёт способ обобщить понятия параболы и прямоугольной гиперболы на произвольный абсолют Кэли-Клейна.

Параболой назовём конику, инполярную абсолюту. Прямоугольной гиперболой назовём конику, эксполярную абсолюту. Эти объекты не имеют ничего общего с этимологическим и историческим смыслом соответствующих терминов, но при вырождении абсолюта превращаются в привычные параболу и прямоугольную гиперболу.

[ Имеет смысл рассматривать и другую параболу — конику, пересекающую абсолют в одной двойной точке. Такая парабола имеет фокально-директориальное определение. То есть в евклидовой геометрии совпали два совершенно разных объекта. ]

Для этих коник можно сформулировать следующие две теоремы:
[ ортоцентром треугольника ABC называется перспектор ABC и треугольника из поляр A, B, C относительно абсолюта ]
1. Ортоцентр треугольника, описанного около параболы, лежит на конике, полярной параболе относительно абсолюта.
2. Ортоцентр треугольника, вписанного в прямоугольную гиперболу, лежит на этой же гиперболе.
Заметьте, что эти теоремы проективно двойственны.

Основной теоремой, связывающей аполярность коник с евклидовой геометрией, является теорема Гаскина: окружность эксполярна конике тогда и только тогда, когда она ортогональна ортоптике этой коники. Из этой теоремы можно получить очень много нетривиальных следствий, например это (доказал Петр Мамонов). Желающие могут попробовать обобщить теорему Гаскина на произвольный абсолют. Но сейчас не об этом.

Из определений понятно, что в геометрии с невырожденным абсолютом парабола и прямоугольная гипербола — проективно двойственные объекты. Значит любому свойству параболы соответствует свойство прямоугольной гиперболы, и обратно. Вырождая абсолют, получаем соответствие между евклидовыми теоремами, которым в евклидовых формулировках и не пахнет. Например, из теорем 1 и 2 при вырождении абсолюта получаются теоремы:
1. Ортоцентр описанного около параболы треугольника лежит на её директрисе;
2. Ортоцентр вписанного в прямоугольную гиперболу треугольника лежит на ней же,
которые, выходит, оказались нетривиальным образом двойственны.

Напоследок замечу: в геометриях с невырожденным абсолютом существуют гладкие вещественные коники, которые одновременно являются и параболой, и прямоугольной гиперболой.