[продолжение]

Идею для осуществления этого метода мне два месяца назад дала книга "Алгебраические группы и поля классов" Ж.-П. Серра. А именно, раздел, в котором развивается теория так называемого обобщённого якобиана алгебраической кривой. Теория там относительно абстрактная и далёкая от классической проективной геометрии, поэтому сразу перейду к тому, что у меня из этого вышло.

Попробую объяснить как можно доступнее. Проще всего представить обобщённый якобиан кубики с двумя точками на ней как множество всех пар (X, k), где X — точка кубики, а k — число. На этом множестве можно ввести операцию, которая сделает его абелевой группой. Само построение отображения и операции, как и в случае классического сложения, незначительно для наших приложений, поэтому я почти не буду его описывать. Итак, зафиксируем на CP2 кубику 𝓔 и две точки A, B на ней. Выберем на 𝓔 точку перегиба O. Операция выглядит так: (X1,k1)*(X2,k2)=(X1+X2,k1*k2*c), где + обозначает обычное сложение с нулём O, а с — некоторое число, зависящее от X1 и X2, которое вычисляется через двойное отношение прямых в определении операции сложения. Касательная к 𝓔 в O пересекает AB в T. Введём функцию f, которая отображает каждую точку Y прямой AB, кроме {A, B}, в двойное отношение [A, B; T, Y]. Формально — в пару (O, [A, B; T, Y]). Функция g будет отображать каждую точку X кубики, кроме {A, B}, в пару (X, 1). Если некоторая алгебраическая кривая 𝓒 пересекает кубику 𝓔 (или прямую AB) в точках X1, ..., Xn с кратностями m_1, ..., m_n, то будем говорить, что 𝓒 пересекает её по дивизору D = m_1 X1 + ... + m_n X_n. Значение функций f и g на дивизоре пересечения определим как g(D) = g(X1)^m_1 * ... * g(Xn)^m_n, f аналогично (умножение здесь означает операцию в обобщённом Якобиане). Важно, что пары (O, k) с первой нейтральной координатой образуют подгруппу. Теперь можно сформулировать основное утверждение, которое пополнит семейство BRL, CRL, ARL, PCRL, DCRL, — Elliptic-Rational Lemma, или просто ERL.

Пусть алгебраическая кривая 𝓒 не проходит через A, B и пересекает 𝓔 по дивизору E, а прямую AB по дивизору L. Тогда f(L)=g(E).

Частные случаи для прямой и коники смотрите на картинках выше. Теперь возникает вопрос, как это дело применить к задачам проективной и элементарной геометрии. К сожалению, мне не удалось найти утверждения, в которых этот метод позволил бы доказать безусловную инцидентность, хотя критерий очень прост: прямые PQR и UVW пересекаются на AB <=> g(P)g(Q)g(R)=g(U)g(V)g(W) — точно как в CRL. Еще есть идея перебрасывать соотношения между ERL и CRL — между кубикой и коникой через прямую. В общем, было бы хорошо найти интересные приложения для доказательства теорем инцидентности, а не только проецировать геометрию с кубики на прямую. Но чтобы было понятно, что метод работает, я прилагаю в комментариях два утверждения, которые я получил с его помощью.