Комментарий к задаче. Треугольник - это одновременно и неупорядоченная тройка прямых, и неупорядоченная тройка точек. А вот четырехугольники бывают разные. В четырехстороннике и четырехвершиннике можно найти парные преобразования: они вырождаются в одно и то же преобразование, если правильно выродить четверку точек или четверку прямых в треугольник. Тогда возникает вопрос: как выглядит анти-Штейнер в четырехвершиннике? Опыт подсказывает, что он вовсе не обязан быть "похож" на анти-Штейнера в треугольнике. Например, в четырехстороннике изогональное сопряжение - это сопоставление второго фокуса вписанной коники (но не сопряжение Клоусона, которое с ним совпадает при сужении на кубику фокусов). Изогональное сопряжение в четырехвершиннике вообще почти не изучено, и ничего "изогонального" в нем даже нет. Но оно обладает тем свойством вырождения, о котором я написал выше. Как раз таки это преобразование позволяет обобщать многие свойства изогонального сопряжения в треугольнике на четырехвершинник.

В геометрии треугольника можно поставить следующий вопрос: как построить изогонально сопряженные точки с данной серединой? И это очень простой вопрос, потому что достаточно построить вписанную конику с таким центром. Но как сделать это циркулем и линейкой? Такое построение существует, и оно как раз требует такое понятие, как точка анти-Штейнера. Изогональное сопряжение в четырехвершиннике не порождает никаких вписанных коник. Поэтому в попытке строить изогонально сопряженные с данной серединой в четырехвершиннике можно рассчитывать либо на другое геометрическое построение, либо на координаты. Второй подход даже при сильных упрощениях себя не оправдал - уравнение слишком сложное. И единственный на данный момент вариант - искать анти-Штейнера в четырехвершиннике, чтобы обобщить аналогичное построение в треугольнике. Зачем это нужно? Чтобы определить еще одно не менее интересное преобразование.