Теорема Фейербаха на кубике

Докажите, что если в кубику удалось вписать* 12 окружностей, то их можно разделить на три четвёрки так, что у каждой четверки существует общая касательная окружность (на рисунке - пример такой четвёрки).

* Не обязательно вещественная окружность вписана в кубику, если она касается кубики в трёх не обязательно вещественных точках.

В общем случае таких окружностей ровно 12, но иногда некоторые могут совпадать. Рисунок правильный, но точки касания не все вещественны.