Геометрия от Волчкевича

Прошел концерт...

На этой неделе прошел мой концерт в клубе Гиперион. Спасибо всем, кто пришел, — был почти полный зал слушателей. Для них прозвучали песни на стихи Осипа Мандельштама, Иннокентия Анненского, Георгия Шенгели, Иосифа Бродского, Бахыта Кенжеева и Григория Кружкова. Кстати, один из них даже сидел в зале. Потом, как обычно, я подписывал музыкальные альбомы, книжки и свои учебники. Не обошлось и без тетрадок в клеточку:)
Во втором отделении были песни на мои стихи, причем несколько новых. На кахоне и варгане мне аккомпанировала любимая жена Анастасия Волчкевич. На фрагменте видео первый куплет песни с загадочным названием ЧБТ.
Те же, кто не добрались до Гипериона, могут послушать несколько моих композиций на радио Калина Красная. А еще лучше приходите на следующий концерт уже весной :)

От нас ушел Сережа Маркелов

Сергей - замечательный геометр, автор множества красивых задач и конструкций (https://dev.mccme.ru/~merzon/pscache/markelov-problems.html ), организатор Математических праздников. Сережа умел очень интересно рассказывать о математике - всегда с юмором и четкими формулировками.
Эту блестящую лекцию он прочитал перед школьниками Дубны в 2003 году. Она была посвящена нерешенным проблемам элементарной геометрии: зеркальным комнатам, раскраскам плоскости, непериодическим паркетам. За прошедшие 20 лет одна из этих проблем была решена, в другой произошло существенное продвижение. Но остальные так и остались нерешенными. Сережа всегда узнавал об этом одним из первых.
Три дня назад его не стало.

Разрезание квадрата

В одном из предыдущих постов было показано, как разрезать квадрат на 12 равнобедренных трапеций. Там я написал, что не знаю, можно ли разрезать его на меньшее число таких трапеций.

Мне часто пишут, что трудные задачи из нашего учебника не подходят для школьников и сложны даже для учителей. Еще пишут, что детям такие задачи не нужны, а главная их задача — сдать ОГЭ на положительную оценку...

Но вот эта история говорит об обратном. Задачу на разрезание квадрата я дал в одном своем классе — и ее прямо на уроке решили несколько сильных учеников (они все разрезали квадрат на 12 трапеций). А через пару дней ученик того же класса, который не выигрывал олимпиад, принес это решение. Я сам до него не додумался, и согласитесь: не все учителя такое придумают!
Нужны ли такие задачи на уроках? Я бы сказал так: на уроках не нужны скучные задачи и скучные учебники!

Пишите ответы в комментариях, и на всякий случай напоминаю про свой концерт — он уже завтра ))

Верю — не верю. Ответы и решения.

Из предложенных шести утверждений в общем случае верны только два: второе и третье. Для остальных можно подобрать контрпримеры. Судя по статистике, многим показались верными 1 и 6 утверждения, хотя они не являются верными.Четвертое утверждение кажется верным из-за известного золотого р/б треугольника с углом 36 градусов. Пятое станет верным, если потребовать, чтобы прямая проходила через середины противоположных сторон четырехугольника.
А шестое утверждение хорошо показывает отличие геометрии на плоскости от пространства: на плоскости аналогичное утверждение верно. То есть аналогия в пространстве не работает, так как появляется дополнительная степень свободы.

Разрезание параллелограмма. Решение.

Выкладываю решение задачи о разрезании параллелограмма на равнобедренные трапеции.
Если у параллелограмма нет прямых углов и одна из его сторон меньше какой-то диагонали, то такой параллелограмм можно разделить на две р/б трапеции. В противном случае трапеций будет 4. Хуже всего на р/б трапеции режутся прямоугольники: для них нужно уже 8 трапеций, а для квадрата даже 12. Зато само разрезание получается красивым и напоминает оконный витраж.
Можно ли уменьшить это число для квадрата, мне неизвестно. Возможно, у кого-то из читателей нашего канала получится это сделать.

Концерт

Наверное, не все знают: кроме составления математических задач и написания учебников, я сочиняю еще музыку и тексты, которые обычно располагают столбиком, то есть стихи. А поскольку я неплохо играю на гитаре, то вовсе не удивительно, что часто я кладу стихи на музыку и тогда получаются песни. В некоторых случаях песни у меня выходят и на стихи других поэтов, от Гавриила Державина до Григория Кружкова.
Ровно через неделю, 9 декабря, все это можно услышать в книжном клубе Гиперион на Китай-городе. Начало в 20 часов.
Гиперион — замечательное место со своей атмосферой, небольшим концертным залом, маленьким буфетом и множеством прекрасных книг. Приходите, не пожалеете!

В преддверии Дня математика, отмечающегося теперь в России в день рождения Николая Ивановича Лобачевского (1 декабря; по старому стилю – 20 ноября 1792 года), представляем серию плакатов Три геометрии: сходства и различия https://etudes.ru/etudes/Euclidean-spherical-Lobachevskian-geometries/ .

Пятый постулат Евклида равносилен утверждению, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Если пятый постулат не выполняется, то возможны две ситуации. Через точку, не лежащую на прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной данной. Получается сферическая геометрия. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. Получается геометрия Лобачевского.

На плакатах коротко и наглядно демонстрируются сходства и различия между этими тремя геометриями. Представленные плакаты можно скачать и распечатать на бумаге формата «А». Минимальный размер – листы А3.

Разрезание параллелограмма

В моем учебнике 8 класса есть простое упражнение на разрезание параллелограмма. Стоит оно в теме трапеция. Школьникам предлагается разрезать параллелограмм на две равнобедренные трапеции. Предполагалось простое разрезание, которое показано на рисунке к этому посту. Неожиданно оказалось, что таким образом можно разрезать не любой параллелограмм. Вчера это заметили Антон @anton_avdeyev и Владислав @thefatherofcorgi. В результате возникла исследовательская задачка, над которой я предлагаю вам подумать.

Пишите ответы и решения в комментарии. А упражнение в учебнике придется поправить. Например, так: нарисуйте параллелограмм, который можно на разрезать на две равнобедренные трапеции. Какие параллелограммы не получится так разрезать?

Концерт в школе

Вчера по просьбе учителей я сделал небольшой концерт для учеников 10 и 11 классов школы 57 Москвы. Главной его задачей было рассказать современным школьникам о русской авторской песне и, конечно, показать ее на примерах. Ребята услышали песни Булата Окуджавы, Владимира Высоцкого, Александра Городницкого, Юлия Кима, Виктора Луферова, Сергея Никитина и Виктора Берковского.
Ко многим из этих песен я сделал свои аранжировки, чтобы раскрыть их музыкальный потенциал. Как известно, сильная сторона авторской песни — это хорошие стихи, но ведь и заложенная в них музыка часто бывает очень интересной.

А концерт своих песен я дам в клубе Гиперион 9 декабря. Одно его отделение будет на стихи Мандельштама, Фроста, Бродского, Лосева, Кружкова и других прекрасных поэтов. А во втором будут песни на мои стихи - я их сочинил тоже немало ))

Подготовка к Олимпиаде

В эту пятницу я провел семинар подготовки к муниципальному туру Всероссийской Олимпиады по математике. Это уровень районной Олимпиады. Мы начали с повторения необходимых фактов по геометрии 7 класса, потом решили 6 простых задач, так сказать, для разогрева и уже после этого в реальном времени решили 6 задач муниципального тура ВСОШ по геометрии за последние годы. Все занятие уместилось в 90 минут и проходило в рамках проекта Т— образования. Презентацию к этому занятию я прикрепляю к данному посту. Надеюсь, она поможет многим учителям математики провести аналогичное занятие со своими учениками. По времени оно рассчитано на пару уроков.

Равные прямоугольники. Решение.

Выкладываю решение задачи о двух равных прямоугольниках, которые вписаны в один сектор круга.
По меткому замечанию нашего постоянного читателя Антона Авдеева, рисунок к этой конфигурации похож на две книжки, застрявшие в хлебнице с поднимающейся круглой крышкой. Чтобы эта метафора имела большее отношение к математике, я написал на корешках этих книжек «Геометрия» и «Алгебра». А поскольку две трети данной задачи составляют алгебраические преобразования (которые я решил опустить), то учебник по алгебре как будто символически подпирает учебник геометрии.

Верю— не верю. Ответы.

Выкладываю ответы на предложенные вопросы. Верных в общем случае утверждений была ровно половина: 2, 4 и 5.
Самым коварным из них было первое, поскольку по определению большинства учебников тупой угол не может быть больше 180 градусов.
Очень интересно утверждение 3: оно кажется верным, однако существуют такие вытянутые вбок трапеции, для которых оно не верно.
Утверждение 5 есть в нашем учебнике и задачнике с зеленой обложкой.
Про утверждение 6 заметим, что кроме правильного треугольника и приведенного примера, других треугольников с указанным свойством не существует — и это легко доказать.

Если понравилась такая форма опроса, ставьте 🔥. Тогда буду предлагать ее время от времени ))

Равные прямоугольники

Некоторые простые с виду конфигурации геометрических фигур трудно рассчитать точно. Например, эту — про два равных прямоугольника в секторе единичного круга. Ширина каждого из них — корень уравнения шестой степени с целыми коэффициентами. Значит, циркулем и линейкой построить эти прямоугольники нельзя, а вот от руки нарисовать их можно довольно легко. Вам предлагается определить(или угадать), чему равна ширина таких прямоугольников с точностью до 0,01.
Но, конечно, лучше получить само уравнение:)
Ответы пишите в комментариях.

Прямой угол

Вот моя новая задача на конфигурацию квадрата и правильных треугольников. Меня самого удивило, что данный факт не так очевиден, как это кажется на первый взгляд. Конечно, можно все посчитать… Но как найти его доказательство без долгих выкладок?
Пишите доказательства в комментариях.

ГМТ

Вот моя новая задача на геометрические места точек.
Для решения пункта А в ней достаточно знаний 8 класса.
А вот пункт Б требует больших знаний и подходит, скорее, для 10—11 классов.

В комментарии пишите ответы и решения.

Квадраты на рельсах. Решение

Эта задача оказалась довольно сложной: из подписчиков канала правильный ответ в ней получил лишь один человек. А сама задача интересна еще и тем, что для параллелограмма без прямого угла она дает простые формулы площади квадратов с вершинами на всех его сторонах (или на продолжениях сторон параллелограмма).

Стоит заметить, что существует гипотеза, по которой в любую замкнутую кривую можно вписать квадрат. Однако она до сих пор не доказана даже для многоугольников.

Треугольник в секторе. Решение.

Доказательство пункта А) вы можете найти в первом комментарии — отличную анимацию к нему сделал читатель нашего канала Денис Егоров.
Решение пункта Б) оказалось совсем простым, а положение наименьшего треугольника — симметричным относительно угла данного сектора.

Ответы 7-1

В этом году вышли наши учебники углубленного уровня 7, 8 и 9 классов.
И как это обычно бывает, туда закрались опечатки: кое-где перепутали ответы, номера рисунков. В следующем издании мы это поправим - а оно будет уже скоро. Сейчас выкладываю здесь правильные ответы к первой части 7 класса. Там опечаток оказалось больше всего :)