Геометрия от Волчкевича

Треугольник в секторе

Предлагаю еще одну задачу в стиле ЕГЭ + От обычной задачи единого экзамена она отличается поиском наименьшего значения и повышенной сложностью пункта на доказательство.

В комментарии пишите свои ответы и решения.

Треугольник и угол. Решение.

Эта задача была предложена на контрольной работе по теме «Движения плоскости». В ее основе лежит известный способ построения правильного треугольника с помощью поворота прямой вокруг данной вершины. Интерес здесь представляет красивый ответ и маленькое исследование.

Квадраты на рельсах

На пересечении двух путей железных дорог разных направлений образуется параллелограмм. Если у него нет прямого угла, на эти 4 рельса всегда можно положить 2 квадрата так, чтобы вершины каждого лежали по одной на всех рельсах.
Каким должен быть угол между рельсами, чтобы разность площадей таких квадратов была равна площади параллелограмма?
В комментарии пишите свои ответы.

Треугольник и угол

Вот задача, которая естественно возникла на контрольной работе в математическом классе.
И красивый ответ в ней тоже возникает естественно, без трудоемких вычислений. Попробуйте его найти!

Врать нельзя, а списывать можно?

Еще раз с праздником вас, коллеги!
Вчера в Узбекистане вышло очень интересное интервью о школьном образовании с моим коллегой Дмитрием Шнолем. У кого есть возможность, советую его посмотреть.

Как развить критическое мышление ребенка? Нужны ли трудные задачи на уроках математики? Что делать в школе с мобильными телефонами? Почему в некоторых странах вообще не принято списывать? Эти вопросы актуальны для школ всего мира и, конечно, для России тоже.
А вы что обо всём этом думаете?

https://m.youtube.com/watch?v=EO7yUP964ow&t=81s&pp=2AFRkAIB

Ко дню учителя

Дорогие школьные учителя, сегодня наш день и я от души поздравляю всех с профессиональным праздником! Я знаю, как трудятся многие, – от рассвета и до заката, по 30-40 часов в неделю. И это не просто работа, это настоящая битва за будущее наших детей. Дети, конечно, бывают разные, но для учителя они как свои.
Помните Юрия Деточкина? Ради детей он даже пошел на преступление!
В прошлом году мое поздравление было музыкальным, а в этом я просто сделаю обзор материалов из нашего канала по темам 2-й четверти – пусть он поможет в вашей нелегкой работе.

Подборка задач на тему Аксиома полуплоскостей
Подборка задач по теме Углы
Листки по тригонометрии для 9 класса
Листки по темам Многоугольники и Выпуклые фигуры
Контрольные по тригонометрии (варианты для физмат. классов)
Контрольные по тригонометрии (упрощенные)
Листки по признакам равенства треугольников
Контрольная на 1-2 признаки
Контрольная для 8 физмат. класса ( средние линии, теорема Фалеса)
Обобщающая контрольная на признаки равенства

Три квадрата

Легко заметить, что эти три задачи имеют много общего. Для решения первой хватит знаний 7 класса, вторая по силам уже восьмикласснику, а третью лучше решать в 9 классе. Получилась вот такая серия задачек «на вырост».
Как обычно, в комментариях пишите свои ответы.

ЕГЭ ++

Недавно мне понравилась одна задача с конкурса Т—образование, и я придумал свою по ее мотивам. Хотя я оформил эту задачу в стиле ЕГЭ, она гораздо сложнее тех, что обычно предлагают на этом экзамене. Думаю, что такая задача подойдет для тренировки ученикам математических классов или их преподавателям.
В комментарии пишите свои ответы.

Стереометрия. Первые уроки

В этом году я начал работать над курсом стереометрии. В комментарии к данному посту выложены материалы к первым урокам геометрии пространства. Предполагается, что в новом пособии будут три уровня его понимания: наглядный, доказательный и даже исследовательский. Курс стереометрии я хочу сделать в стиле учебников по геометрии 7-9 класса – с преамбулами, упражнениями, примерами и задачами трех уровней сложности. А насколько это получается, судить вам.

Геометрия - дочь архитектуры

Завтра с такой лекцией я выступлю для учителей Томска и расскажу о том, что может дать геометрия школьникам, а также о своем опыте преподавания и учебниках.
Это мероприятие организовано СИБУРом, и пройдет оно 21 сентября в 10:00 по адресу Томск, Береговая 6.
После обеда там же запланирован семинар для учителей.
Пока неизвестно, будет ли онлайн-трансляция или запись. Если да, обязательно выложу ссылку.

Кольцо из черепах

После изобретения шляпы Эйнштейна, были найдены другие плитки, которые при любом способе их укладки на плоскость дают мозаику без периода — одна из них, черепаха, показана на фото справа. Для наглядности мы сделали ее из фанеры. Как и шляпа Эйнштейна, черепаха имеет 13 углов, равных 90, 120, 240 и 270 градусов. У черепахи 12 равных сторон, а последняя длиннее их ровно в 2 раза.

Оказалось, что из 12 черепах можно сделать замкнутый круг или «кольцо» — оно показано на фото слева. Периметр нашей Черепахи 35 см. А задача в том, чтобы с точностью до 1 мм найти ширину такого «кольца из черепах», то есть расстояние между любой парой его параллельных сторон.

Шляпа Эйнштейна

Чуть больше года назад в теории паркетов было сделано удивительное открытие: английский любитель математики Дэвид Смит придумал «шляпу Эйнштейна» — единственный камень или плитку, копиями которой без пропусков и наложений можно заполнить всю плоскость. Главное ее свойство в том, что полученный паркет никогда не повторяется, то есть его невозможно никаким сдвигом совместить самим с собой. Раньше самым простым паркетом, не имеющим периода, была мозаика Пенроуза: он составил ее в 1974 году с помощью двух ромбов.
Плитка Смита имеет 13 углов и действительно похожа на фетровую шляпу. А имя Эйнштейна — просто игра слов, ведь в переводе с немецкого фамилия гениального физика значит «один камень». Интересно, что сам Альберт Эйнштейн шляп носить не любил, предпочитая им носовые платки. Может быть, поэтому Роберт Фэтхауэр заменил часть «шляп» на «рубашки» и создал художественный беспорядок бесконечного гардероба — мозаику наподобие Эшера.
Продолжение следует. Ждите задачу о таких плитках!

Клетчатая бумага. Решение.

Выкладываю решения трех задач на клетчатой бумаге. В комментариях к посту с их условиями есть верные ответы ко всем задачам, но ни у кого из написавших эти ответы не было трех правильных.
Удивительно, что треугольник на рисунке Б действительно равносторонний! Другое доказательство этого смотрите в комментарии от Дениса Егорова к этому посту:)
Еще одно интересное наблюдение: прямые ВК и СМ на рисунке В пересекаются в точке А данной окружности.
Подумайте, почему так будет!

ПОЛЕЗНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Для наших новых подписчиков делаю обзор материалов, которые я выкладывал в сентябре прошлого года:

- Презентация по теме «Первые учёные»
- Работа на повторение 7 класса
- Работа на повторение 8 класса
- Материалы к параграфу «Точка, прямая, плоскость»
- Подборка задач на повторение вписанных углов для 9 класса
- Листок по знакам и кванторам
- Работа по единицам измерения для 7 класса
- Варианты контрольных на параллелограммы и прямоугольники для 8 класса
- Контрольная для 7 класса

Нужно ли в будущем делать такие обзоры? Если да, поставьте 👍

Клетчатая бумага

Клетчатая бумага в планиметрии — это отличная основа для быстрых упражнений почти на все темы школьного курса. Для таких задач практически не нужно писать условие — ученикам всё понятно сразу на рисунке. В нашем учебнике есть упражнения и задачки на клетчатой бумаге на углы и отрезки, равные треугольники, тригонометрию, площади и окружности, подобие, теорему Пифагора, степени точек и неравенства.

Три задачи в этом посте про одну и ту же окружность и сразу на три разные темы: вписанные углы, подобные треугольники и площади.

В комментарии, как обычно, пока пишите только ответы.

Путь из точки А в точку В

Пару месяцев назад редакция журнала Тинькофф—образование взяла у меня интервью. В нем я ответил на много вопросов: почему я стал учителем, зачем написал учебник, какие задачи интересны детям, что делаю в свободное от работы время, какие математические модели можно потрогать руками, нужна ли история науки в школе, работает ли сейчас социальный лифт в образовании.
Это интервью вышло пару дней назад. Вот ссылка на него:

https://j.tinkoff.ru/e-tg/maths-schoolbook/


Кстати, в комментариях к этому интервью развернулась целая дискуссия о пользе геометрии в школьном образовании.

Подарок к учебному году – тригонометрический круг

Замечательный подарок к началу учебного года!
Один из наших читателей создал сайт https://sin-cos.pro/ru , на котором собрано все, что нужно для изучения тригонометрии. Таблицы значений, основные формулы, а главное - интерактивный тригонометрический круг, который можно двигать и наблюдать, как меняются значения функций при изменении угла. Думаю, будет полезно и школьникам, и учителям.

Сайт совершенно бесплатный, не нужна даже регистрация. Он придуман человеком, который помнит, как порой сложно даётся тригонометрия и как им когда-то ее объясняли в школе с помощью такого круга, сделанного из дерева и металла.

Если у вас есть свой проект, которым вы хотите поделиться в нашем канале, пишите админу ))

Лето прошло

Вот и лето прошло — как не бывало…
Поздравляю всех подписчиков нашего канала с началом учебной осени. Летом многие отдыхали: кто гнал велосипед по проселкам, кто в гамаке качался и книжки читал, кто грибы собирал да ягоды, а кто окунался в пену морскую.
Это стихотворение — вам подарок с берега океана.
А как получилось такое фото, попробуйте догадаться :)

Равные площади. Решение.

Данную задачу не так легко решить классическими школьными методами — попробуйте это сделать!
Здесь более уместен другой линейно-алгебраический подход: сумма площадей двух треугольников с вершинами на одной прямой, противоположные стороны которых — данные отрезки, меняется линейно на этой прямой. Так как в двух точках значения такой линейной функции равны, то она — константа.

Интересно, что точно так же можно доказать, что для всех точек прямой, проходящей через основания двух биссектрис треугольника, расстояние до одной его стороны равно сумме расстояний до двух других.

Эллипс в четырехугольнике

Продолжаем серию задач на проективные преобразования.
В выпуклый четырехугольник можно вписать много эллипсов. Их центры всегда лежат на одной прямой — эту замечательную теорему доказал еще Исаак Ньютон. Оказывается, лишь одна точка касания эллипса со стороной четырехугольника определяет его положение. Предлагается циркулем и линейкой построить по одной такой точке К центр эллипса и три другие его точки касания со сторонами.
Почему они однозначно определяют эллипс?