Верю — не верю. Ответы и решения.

Из предложенных шести утверждений в общем случае верны только два: второе и третье. Для остальных можно подобрать контрпримеры. Судя по статистике, многим показались верными 1 и 6 утверждения, хотя они не являются верными.Четвертое утверждение кажется верным из-за известного золотого р/б треугольника с углом 36 градусов. Пятое станет верным, если потребовать, чтобы прямая проходила через середины противоположных сторон четырехугольника.
А шестое утверждение хорошо показывает отличие геометрии на плоскости от пространства: на плоскости аналогичное утверждение верно. То есть аналогия в пространстве не работает, так как появляется дополнительная степень свободы.