Зачем мне эта математика

Привет!
Герои сегодняшней подборки — простые числа, то есть те, что длятся только на 1 и на себя.
Они простые с точки зрения математики, но не простые в общепринятом смысле! Несколько фактов ⬇️
1) Доказано, что простых чисел — бесконечно много. Так что не существует самого вот прямо большого простого числа. Есть только самое большое, известное на сегодня, — это 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³-1 (уже найдено новое!). В нём более 24 миллионов цифр.
2) Найти простые числа (особенно большие) — непросто.
3) Простые числа применяются в сложных сферах — криптографии и шифровании.

Собрали для вас подборку с простыми и непростыми, но интересными фактами про простые числа и их применение:
▶️ Простые числа (определение, решето Эратосфена)
▶️ Как проверить число на простоту
▶️ Проблема Гольдбаха
▶️ Общий вид простого числа (загадка)
▶️ С какой вероятностью число — простое?
▶️ Формула для простых чисел
▶️ Малая теорема Ферма
▶️ Непростая задача про простые числа и её решение
▶️ Как простые числа помогают нам каждый день

Будет, чем заняться в выходные 😉

Пифагоровы тройки и комплексные числа

Если спросить у прохожего: «Какую теорему из математики вы знаете?», то кажется, первое, что придёт на ум практически любому человеку, — это теорема Пифагора. Та самая, про прямоугольный треугольник. Это очень прикладная теорема, прямой угол — это объект, который каждый день встречается нам в реальной жизни. Но ещё она интересна и с точки зрения алгебры.

Итак, есть тройка чисел a, b и с, которые связаны равенством: a²+b²=c².
В некоторых случаях эти числа — целые, причём все три!
Например, 3²+4²=5², 5²+12²=13².
Такие целые тройки настолько впечатлили математиков, что им даже дали особое название — пифагоровы тройки.

Найти пифагоровы тройки — увлекательная задача, а решить её помогают… комплексные числа! Да, те, которые основаны на квадратном корне из -1. Вспомнить основное про них можно в посте.
Комплексные числа могут казаться абстрактной сущностью, но помогают решать вполне прикладные и понятные задачи.

И, оказывается, комплексные числа помогают найти пифагоровы тройки! Как именно — смотрите в видео. В нём так красиво визуализируется происходящее, что даже если ничего не понятно — можно просто полюбоваться картинками.
Нам кажется, такие взаимосвязи делают математику захватывающей!

Приятного вам просмотра 🥰

Решим вчерашнюю задачку о земле для пересадки растения.

Литр — это кубический дм, так что переведём все данные из см в дм:
10 см = 1 дм,
25 см = 2.5 дм,
12 см = 1.2 дм.

Ком земли имеет форму шара. Объём шара вычисляют по формуле:
V₁ = 4/3*π*r³.
Подставим наши данные:
V₁ ≈ 4/3*3.14*(1дм)³ ≈ 4.19 дм³, то есть 4.19 литров земли перейдёт в новый горшок.

Горшок имеет форму цилиндра, его объём:
V₂ = h*π*r².
Подставим числа:
V₂ ≈ 2.5дм*3.14*(1.2дм)² ≈ 11.30 дм³, то есть 11.3 литров — это объём нового горшка.

Значит, Ирине нужно 11.3 - 4.19 = 7.11 литра земли.
Если в одном пакете 5 литров, то Ире пригодятся 2 пакета.

Математическое цветоводство

Привет! Сегодня предлагаем вам вспомнить геометрию с помощью такой задачки.

Ирина растила фикус, и теперь его пора пересаживать. Когда она вынула растение с землёй из старого горшка, оказалось, что ком земли вокруг корней имеет вид шара c радиусом 10 см. Ирина планирует посадить фикус в новый горшок и засыпать свежей землёй до краёв. Новый горшок имеет форму цилиндра: высота 25 см, радиус основания 12 см.

1) Сколько литров свежей земли нужно Ирине?
2) Сколько пакетов земли нужно купить Ирине, если в одном пакете — 5 литров земли?

Для расчётов возьмите π≈3.14, ответ округлите до сотых.
Ваши решения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Подсказка: литр — это кубический дециметр. Если перевести все единицы в дециметры, то ответ получится сразу в литрах.

Мемы в студенческом чате

Привет!
Студенческая жизнь у многих вызывает приятные воспоминания. Онлайн-курсы — не исключение! Например, на курсе «Математика для анализа данных» есть чудесное студенческое коммьюнити. Это чат в мессенджере, который создаёт куратор. В нём общаются студенты разных потоков: обсуждают задания, поддерживают друг друга, рассказывают о рабочих проектах, а иногда… просто делятся друг с другом мемами: математическими и айтишными. Кажется, чисто ради мемов стоит пойти учиться на курс 🙃

Спасибо студентам, которые разрешили публикацию сообщений: Владиславу Чумаченко, Алексею Сергейчуку и Алексею Витальевичу.
Всем смешных мемов и хороших выходных!

Последовательности

Последовательность в математике — это набор чисел, за каждым из которых закреплено конкретное место. Формально это звучит так: последовательность — это упорядоченный набор чисел.
Например: 1, 2, 4, 8, … — последовательность, в которой каждый следующий элемент в 2 раза больше предыдущего.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Например, 3, 6, 9 — конечная последовательность из трёх элементов. А если ставим многоточие в конце, то это значит, что последовательность бесконечная и будет продолжаться дальше по тому же правилу:
3, 6, 9, ….

Как задают последовательности
Есть несколько способов: поэлементно, рекуррентно и с помощью формулы.

Поэлементно. На каждое место мы ставим конкретный элемент и заранее проговариваем, какой именно.
Например: a₁ = 2, a₂ = 4321, a₃ = 15 — это последовательность из трёх чисел, заданная поэлементно. Её также можно задать просто перечислением: 2, 4321, 15.

Рекуррентно. Мы задаём один или несколько первых элементов и указываем формулу, с помощью которой можно вычислить любой элемент, зная предыдущие.
Например, a₁ = 3, aₙ = aₙ₋₁ + 2. Получаем последовательность:
3, 5, 7, 9, 11, …
Знаменитую последовательность Фибоначчи, например, удобно задавать именно рекуррентно: a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂.
Получаем: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….

С помощью формулы. В таком случае записывается формула с переменной n, где n — это порядковый номер элемента. Формула помогает вычислить любой элемент, зная лишь его номер.
Например, последовательность квадратов натуральных чисел удобно задать формулой: aₙ = n².

Одну и ту же последовательность можно задать разными способами. Например, последовательность чисел, делящихся на 5, можно задать:
➡️поэлементно: 5, 10, 15, 20, 25, …
➡️рекуррентно: a₁ = 5, aₙ = aₙ₋₁ + 5
➡️с помощью формулы: aₙ = 5n.

Чаще всего исходные данные — последовательность, заданная поэлементно, и нам надо найти логику в этой последовательности, то есть — формулу. Формула помогает, например, находить следующие элементы или вычислять сумму элементов последовательности.
Позже мы ещё расскажем об известных последовательностях. А пока предлагаем прерваться на задачки.

Задачи
Мы зададим несколько последовательностей поэлементно. Попробуйте найти формулу для каждой из них.
1) 7, 13, 19, 25, …
2) 2, 7, 14, 23, 34, …
3) 5, 1, -1, -1, 1, 5, 11, …

Ваши ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Математика и зомби

Бууууу! 👻💀
Испугались? 🎃
Если нет, то представьте, что наступил зомби-апокалипсис! 🧟‍♂️

Теперь испугались? Если нет, то поздравляем: вы — настоящий математик! Математик даже в такой ситуации не испугается, а начнёт изучать и исследовать. Например, какие есть стратегии выжить, какая из них лучшая… не мешайте, зомби, мы тут заняты!

Результаты математических исследований разных стратегий выживания можно посмотреть в шуточном видео.
Нам больше всего нравится последняя. 😅
Кто знает, возможно, именно эти знания когда-нибудь спасут вам жизнь!

Посмотреть с переводом на русский можно через Яндекс Браузер.

Математика, которая помогает вам каждый день (а вы, возможно, и не догадываетесь)

Признаемся честно: есть вопрос, от которого у всех математиков дёргается глаз. И вопрос этот: «Ой, да зачем вообще нужна ваша математика? Мне вот она после школы так и не пригодилась». И мы верим, что часто это правда.
Большинство математиков — это увлечённые теоретики, им не так важно, будет ли у изучаемых ими объектов практическое приложение. Так что в математике действительно полно абстрактных теоретических концепций.

Но поверьте, есть в математике кое-что, что помогает делать лучше и безопаснее каждый ваш день. И это… простые числа. Да-да, те самые, которые делятся только на 1 и на себя.

Дело было так. В 17 веке Пьер Ферма сформулировал свою малую теорему, там как раз про простые числа. Это красивая, элегантная и удивительная теорема. Триста лет ею восхищались только математики. А потом в 1970-х годах на её основе криптографы создали алгоритмы шифрования. И понеслось! Сейчас они защищают электронные письма, банковские транзакции и вообще любую информацию, которой мы пользуемся каждый день.
Вряд ли Пьер Ферма мог предположить, что его теорема станет такой полезной на практике, но жизнь математических абстракций бывает непредсказуемой.

Чтобы узнать больше об алгоритмах шифрования, предлагаем посмотреть видео:
⭐️ коротенькое о сути шифрования с открытым, или ассиметричным, ключом;
⭐️ подлиннее — здесь весь алгоритм разобран по шагам, и становится понятно, при чём тут простые числа;
⭐️ для математических гурманов — тут во второй половине можно подсмотреть ещё примеры применения алгоритма вручную и попробовать свои силы.

И пусть вся ваша информация всегда будет надёжно зашифрована! ❤️

Нормы вектора

Привет!
Мы тут готовили пост о нормах вектора — получилась целая статья! Что это такое, с чем едят, зачем нужно и как использовать в анализе данных. Садитесь поудобнее и читайте. ☺️🍿

Лайфхаки устного счёта

Способность быстро посчитать в уме и прикинуть ответ — ценное математическое умение.
Во-первых, это экономит время.
Во-вторых, позволяет оценить километровые вычисления и быстро понять, похожи они на правду или что-то пошло не так.
В-третьих, просто классно обойтись иногда без калькулятора.

Сегодня поговорим про устные вычисления и поделимся лайфхаками, как быстро делить и умножать на 5.

Для этого нам пригодятся деление и умножение на 10, которое вы, конечно же, знаете. Когда мы умножаем на 10, мы просто дописываем к числу 0 справа или сдвигаем запятую правее, если число оказалось дробным. Когда мы делим на 10, то стираем самый правый 0 или двигаем запятую влево, если нуля в конце числа не оказалось.

Умножаем на 5. Умножить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 10 (дописать 0) и разделить результат на 2.

Почему это работает? Если записывать в буквенном виде, получим n*5=n*(10/2)=n*10/2. Свойства умножения позволяют умножить и разделить в удобном нам порядке.

Например,
17*5 = 17*10/2 = 170/2 = 85,
2164*5 = 2164*10/2 = 21640/2 = 10820,
555*5 = 5550/2 = 2775.
Произвести эти две операции в уме — часто быстрее, чем одну исходную.

Делим на 5. Разделить число на 5 — это то же самое, что умножить его на 2 и разделить на 10.
Тут всё аналогично: n/5=n/(10/2)=n*2/10.

115/5 = 115*2/10 = 230/10 = 23,
875/5 = 875*2/10 = 1750/10 = 175,
112/5 = 224/10 = 22.4.

Потренируйтесь:
а) 77*5 = ?
б) 134*5 = ?
в) 570/5 = ?
г) 1815/5 = ?
Только чур, считать устно! 😎
Ради интереса можно засечь, сколько времени у вас уйдёт на эти 4 примерчика.

Задачи по комбинаторике

Согласно исследованию Яндекс Практикума вероятность встретить комбинаторную задачу на собеседовании на позицию аналитика данных или специалиста по Data Science достигает 43%. Кроме того, комбинаторика — основа для теории вероятностей. Поэтому предлагаем вам освежить свои знания о ней!

Краткая теория — в двух постах:
⭐️ Про факториал,
⭐️ Про различие размещений и сочетаний.

Потренироваться можно на задачах:
⭐️ Про четырехугольники в пятиугольнике,
⭐️ Про мышь и сыр,
⭐️ Про Тайного Санту,
⭐️ Про слова,
⭐️ Про улицы Питера.

Больше теории и задачек с решениями — в нашем бесплатном тренажёре «Основы математики для цифровых профессий» в разделе «Комбинаторика».

И если вы никогда не собирались с близкими вечером пятницы, чтобы порешать математические задачи, то предлагаем начать сегодня 😇

Начало ⭐️

Действия с комплексными числами
При сложении и умножении комплексные числа ведут себя как многочлены. Например, сложим 2+3i и 1-2i, получим: 2+3i+1-2i = 3+i.
Теперь умножим: (2+3i)*(1-2i) = 2-4i+3i-6*i² = 2-i+6 = 8-i. Здесь мы использовали тот факт, что i²=-1.
И напоследок разберёмся с квадратным уравнением.

Корни уравнения с отрицательным дискриминантом
У квадратного уравнения x²-6x+34=0 дискриминант отрицательный: D=6²-4*1*34=-100.

Теперь нам это не мешает, просто найдём корни уравнения по обычной формуле: x = (-b ± √D) / 2a. Получим:
x₁=(6+10i) / 2 = 3+5i,
x₂=(6-10i) / 2 = 3-5i.
Вот и два корня уравнения с отрицательным дискриминантом!

Кое-что ещё
Сейчас комплексные числа прочно лежат в основах математики: часто задачу, которую очень сложно или невозможно решить «в лоб» получается изящно посчитать, выйдя в комплексную плоскость. Комплексные числа также применяются в картографии, авиа- и ракетостроении, гидродинамике, квантовой механике и других областях науки.
А ещё с их помощью можно рисовать красивые картинки! ⭐️

Отрицательный дискриминант — не приговор

В школе нас учат: если дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение не имеет корней. Это верно с поправкой в одно слово: не имеет действительных корней. Зато имеет другие корни — комплексные. Разберёмся, что это такое.

Сначала вспомним, что такое действительные числа. Это любые числа, которые можно представить в виде a.b — то есть они имеют целую часть и дробную (конечную или бесконечную).

Комплексные числа
Введём новый объект — квадратный корень из числа -1, обозначается i. Это значит, что i²=-1. Такого числа не существует среди действительных, поэтому для него и придумали специальное обозначение.
Число i позволяет извлекать корни из любых отрицательных чисел. Используем обычные свойства корней, например: √(-4)=√4*√(-1)=2i.

Все числа вида a+b*i, где a и b — действительные, называют комплексными. Например, 1+i, -2i, 3-0.5*i и так далее.
При этом никто не запрещает сделать b=0 и оставить только a. Так что множество действительных чисел — это подмножество комплексных. И все привычные числа вроде 5, -7.9, π и т. д. — тоже комплексные.

Первым известным исследователем комплексных чисел был Джероламо Кардано, ещё в 16 веке!

Части комплексного числа
Комплексное число состоит из двух частей: действительной и мнимой. Например, у числа 2+3*i части такие: 2 — действительная, 3 — мнимая.
В англоязычной терминологии эти части называют real и imaginary, что можно перевести как «реальная» и «воображаемая». Это служит предметом для математических каламбуров про воображаемых-мнимых друзей. 😄
Например, как на комиксе ниже.

Продолжение ⭐️

Разберём вчерашнюю задачку про приветственные карамельные латте. ☕️

В первой стране кофе стоил 250 рублей, во второй — 310 рублей, а в третьей 370.
В последовательности 250, 310, 370 разница между соседними числами одинаковая:
310 - 250 = 370 - 310 = 60.
Такая последовательность является арифметической прогрессией.
Для неё всё можно посчитать через первый член a₁ и шаг d (часто он называется разность прогрессии). Здесь a₁ = 250 и d = 60.

1) Тогда a₁₀ = a₁ + 9d = 250 + 9*60 = 790 рублей.
Надеемся, что за такую цену кофе хотя бы будет вкусным! 😅

2) Здесь нужно было найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии. Это можно сделать по формуле: S₁₀ = 0.5(a₁ + a₁₀)*n = 0.5(250 + 790)*10 = 5200 рублей. Столько денег потратит Карина на приветственные латте.

И напоследок — абсолютно нематематический вопрос: какой самый дорогой кофе покупали вы и где это было?

Давненько у нас не было задачек! Исправляемся и несём кофейную. ☕️

Карина отправилась в долгожданное путешествие, её план — посетить 10 стран подряд. Первым делом после приземления она покупает свой любимый карамельный латте. В пересчёте на рубли, в первой стране он стоил 250 рублей. Во второй стране стоимость латте оказалась выше — 310 рублей, а в третьей — уже 370. «Что-то не нравится мне эта закономерность…», — возмущается Карина.

1) Сколько будет стоить карамельный латте в последней стране из её списка, если закономерность сохранится?
2) Сколько денег потратит Карина на все приветственные карамельные латте вместе взятые?

Решения и ответы ждём, как всегда, в комментариях под скрытым текстом.