Зачем мне эта математика

Математические обнимашки

В математике есть интересная область, которая называется теория узлов (knot theory). Изучает она, собственно, узлы. 🥨
Эта теория широко применяется, например, в биологии и химии, у нас с вами ещё будет о ней серьёзный разговор. Но сегодня мы просто хотели показать вам видосик о внезапном приложении математики к жизни, а именно — о связи между узлами и обнимашками.

В качестве задачи на сегодня предлагаем вам приобщиться к науке и пойти обнять близкого вам человека математически интересным образом. ⭐️

Начало ⬆️

Зачем нужна троичная логика?

Информация хранится эффективнее. Сейчас компьютеры основаны на двоичной логике: каждый бит имеет два состояния — 0 или 1. В каждом байте 8 бит, значит, один байт может хранить 2⁸ чисел.
Когда мы вводим третье состояние, в тех же 8 ячейках получится уже 3⁸ чисел!
Было доказано, что эффективность маскимальна, когда используется система счисления из е чисел. Это невозможно, ведь е — не целое, но 3 ближе к 2.7, чем 2. 😁

Повышается надёжность системы. Тот же объём информации можно хранить на меньшем количестве элементов. Значит, вероятность ошибок и поломок меньше, и надёжность системы с троичной логикой выше.

Увеличивается эффективность процессора. Троичная логика сокращает количество операций. Например, есть задача — сравнить A и B, то есть определить, A<B, A=B или A>B. В двоичной логике нам нужно сделать две проверки: сначала сравнить, не равны ли A и B, и если нет, то определить, что из них больше. В троичной логике всё это делается в одно действие.

Для других алгоритмов тоже можно найти более эффективные способы реализации. Например, сложение двух чисел — одна из основных операций процессора — в троичной логике выполняется примерно в полтора раза быстрее, а информация кодируется и передаётся на 15% эффективнее.

Сохраняется совместимость. Компьютер, работающий на троичной логике, совместим с компьютерами, которые работают на двоичной.

Так почему же человечество до сих пор не перешло на троичные компьютеры?
Дело в том, что сейчас производства заточены под создание компонентов для двоичного компьютера, а производство троичного компьютера сложнее и дороже.
К тому же, двоичная логика привычна. Переход на троичную — это не только другие транзисторы, это пересмотр алгоритмов и даже языков программирования. Такой переход требует много времени и — конечно, мотивации.

Возможно, главная причина в том, что пока нам хватает эффективности существующих устройств. Так что пока остаёмся с привычными компьютерами, но очень ждём появления новых!

Троичная логика

Недавно мы писали про двоичную логику. Она изучает высказывания, которые могут быть истинны или ложны. Можно сказать, что мы отвечаем на вопрос, выбирая из двух вариантов: истина или ложь, да или нет, жарко или холодно, положительно или отрицательно.

Но подождите… Бывает же «ну не то чтобы жарко, но и не холодно». Или, например, число 0 — оно ни положительно, ни отрицательно.
Вот такое дополнительное состояние учитывает троичная логика. Оно бывает неопределённым или просто промежуточным. Такая концепция — это расширение двоичной логики, которая рассматривает три состояния вместо двух.

Ещё примеры троичной логики в жизни: состояние дел (плохо, ок, отлично), наполненность стакана (пуст, частично заполнен, полон) и т. д.

Троичная логика работает почти так же, как и двоичная. Три состояния можно определить, например, так: ложь — это -1, истина — это 1, неопределённость — 0.

В троичной логике можно ввести привычные операции логического «и», логического «или» и логического «не». Таблицы истинности будут иметь больший размер, смотрите картинку к следующему посту.

Запомнить таблицы можно так:
💘 результат конъюнкции («и») равен наименьшему из аргументов,
💘результат дизъюнкции («или») равен наибольшему из них.
Это верно и для двоичной логики, но для сложных троичных таблиц правило прямо выручает.

Например, для конъюнкции: Что можно сказать про истинность высказывания «Завтра Новый год и все наши подписчики любят пельмени»? Первая часть — ложна (-1), ведь сейчас октябрь, а вторая — неизвестно (0). Значит, фраза целиком ложна (-1).

Для дизъюнкции: «Сейчас октябрь или все наши подписчики любят пельмени». Первая часть истинна (+1), вторая — неизвестно (0), значит, вся фраза целиком истинна (+1).

Продолжение ⬇️

Кто такой этот ваш факториал

Если вы составляете список задач на день, то точно задавались вопросом: с какой начать? Математик обязательно задаст ещё один вопрос: сколько неповторяющихся вариантов списка задач можно составить?

Допустим, каждое утро вам нужно почистить зубы, выпить кофе, приготовить завтрак и погулять с собакой. 🦷☕️🍳🐕
На первое место мы можем поставить любое из 4 дел, на втором после выполнения первого может быть любое из оставшихся 3, на третьем — любое из оставшихся 2 и на последнем — какое-то 1 дело. Всего 4*3*2*1 = 24 варианта. Итого 24 дня подряд можно делать своё утро немножко разным.

Такие произведения имеют в математике своё название.
Факториал натурального числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (или от n до 1, что то же самое). Обозначают его n! (читается как «эн-факториал»).
4!, как мы посчитали выше, равен 4*3*2*1 = 24,
5! = 5*4*3*2*1 = 120,
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720, и так далее.

Если долго всматриваться в факториалы, можно заметить, что каждый следующий факториал содержит в себе заодно и все предыдущие, — как большая матрёшка, которая содержит в себе матрёшку поменьше и заодно все матрёшки, что были у той внутри.🪆
Научно это называют «рекуррентное свойство» и записывают вот так: n! = n*(n-1)!.

Получается, чтобы найти 7!, достаточно просто умножить 6! на 7. А если умножить полученное произведение на 8, получится уже 8!. Он равен 8*7! = 8*7*6! и так далее. Значения основных факториалов мы положим в комменты к этому посту.

С увеличением числа растёт и скорость роста факториала. Списка из 4 дел хватит на 24 дня, а список из 10 дел будет не повторяться уже примерно 9942 года. Мораль: не планируйте слишком много.
Факториал — незаменимый помощник при изучении комбинаторики. Именно с его помощью вычисляют число перестановок: хоть цветов, хоть дел, хоть рассадки гостей. В задачах на число сочетаний и размещений без факториала тоже не обойтись.

А ещё у факториала много интересных свойств, но о них — в другой раз.
Так что насчёт вашего утра?

Мы уверены, многим знакома визуализация множеств с помощью кругов.

Этот способ изображения множеств первым начал использовать математик Леонард Эйлер. Такие круговые диаграммы помогают решать задачи теории множеств, логики, теории вероятностей и других разделов математики.

Визуализация настолько проста и наглядна, что давно вышла за пределы математики, её используют повсеместно.

И в честь пятницы мы предлагаем вместе посмеяться над самыми потешными диаграммами.
Ловите нашу подборку и делитесь в комментариях вашими любимчиками. 😁

⬆️
Для чего нам нужен этот косинус?
По косинусу можно найти сам угол. А по углу можно определить, насколько близки векторы друг к другу: угол маленький — близки, угол большой — далеки.
В анализе данных есть понятие косинусного сходства (это по сути просто косинус). Для углов от 0° до 180° чем меньше угол, тем больше косинус. Значит, чем больше косинус, тем больше векторы схожи. Сходство максимально, когда векторы сонаправлены, и минимально, когда направлены противоположно.

Где всё это применяют?
Классический пример применения косинусного сходства — анализ текстов, заголовков статей и новостей. Каждый заголовок — это вектор. Вычисляем косинус и понимаем, какие новости говорят о чём-то похожем, а какие — о разном. Это помогает избежать дублирования новостей на агрегаторах и относить статью в подходящую рубрику.

Другой пример. Каждый автомобиль можно описать вектором его характеристик: год выпуска, пробег, тип кузова, тип двигателя, привод, мощность, количество мест и т.д. Косинусное сходство поможет усмирить разнообразие характеристик и подскажет, какие автомобили похожи.

И напоследок — пельмешки! Представьте, что математик зашёл в магазин и не обнаружил любимых пельмешек. Какие другие пельмени ему выбрать? Можно описать каждый вид пельменей вектором — например, по количеству калорий, белков, жиров и углеводов. Косинус между векторами поможет математику найти пельмени, наиболее похожие по пищевой ценности на его любимые! 🥰

Как векторы помогают находить похожие данные

В недавнем посте про векторы мы уже упоминали вот такую формулу из школьной программы:
a*b=|a|*|b|*cos∠(a, b), где |a|, |b| — это длины векторов.

Вообще она помогает вычислить скалярное произведение, но чаще её используют для другого. Из неё можно выразить косинус, получится:
cos∠(a, b) = a*b / (|a|*|b|).

Скалярное произведение и длины можно вычислить, зная только координаты. Получается, что можно без чертежа, регистрации и смс, из одних только числовых данных вдруг получить косинус угла между векторами, то есть вполне себе геометрическую характеристику.

Пример вычисления косинусного сходства для разных векторов ловите в комментах 👇
⬇️

Привет!
Мы давно хотели попробовать видеоформат, и вот реализуем. 📹
Ловите видео про фракталы, границы государств и береговые линии.
Если нравится такой формат — ставьте лайки и пишите комментарии, будем делать ещё! 🥰
А вот пост про фракталы, который упоминаем в видео.

Где искать корректные ответы на математические вопросы

Можно много говорить о том, что самая правильная теория — в академических учебниках. Но реальность такова, что на многие вопросы хочется получить быстрый ответ, а интернет — всегда под рукой.

Бывает, материалы на сайтах сомнительны: можно наткнуться на некорректную аналогию или неправильное решение задачи. Как пример — посмотрите иллюстрацию к посту: ChatGPT отвечает на вопрос про алгебраическое число, но потом передумывает.

Собрали для вас подборку сайтов, на которых вы найдёте корректные ответы на математические вопросы.

https://www.wolframalpha.com — калькулятор чего угодно: перевод единиц измерения, построение графиков, вычисление производных, статистические расчёты и т.д. Всё точно и с понятным интерфейсом.

https://math.stackexchange.com/ — форум, где задают вопросы и получают ответы от настоящих математических экспертов! По количеству голосов можно оценить достоверность ответа. Можно задать свой вопрос или использовать поиск по уже заданным.

https://ru.wikipedia.org/— наш опыт показывает, что в математических вопросах википедии можно верить. Английская википедия подробнее русской.

mccme.ru — русскоязычный сайт с огромной коллекцией ссылок и материалов по разным разделам математики, условно: от 5 класса школы и дальше. Можно почитать электронные версии книг, найти подробные статьи и даже занимательные математические факты. Ещё здесь можно потренироваться решать задачи, а затем свериться с готовыми решениями.

mathnet.ru — сайт с современными публикациями по математике и смежным наукам. Здесь много академических статей, так что ресурс подойдёт, скорее, математически подкованным специалистам.

Ну и конечно бесплатный тренажёр по математике и курс «Математика для анализа данных» от Яндекс Практикума — здесь собрана необходимая база для специалистов в анализе данных и Data Science. Курс постоянно дополняется, материалы остаются с вами навсегда.

А какие ресурсы помогают вам найти ответы на математические вопросы?

Скалярное произведение векторов и его применение

Мы уже рассказывали, что с точки зрения аналитики вектор — это упорядоченный набор данных. Данными может быть что угодно, не только числа.

Например, вот список покупок:
s = (бананы 1 кг, чипсы 2 пачки, помидоры 0.3 кг, молоко 1 л, куриное филе 0.7 кг).
Вы придёте с этим списком в магазин, и там ценники образуют свой вектор. Его координаты — это цены каждого продукта за килограмм или за штуку
p = (бананы 105 р, чипсы 80 р, помидоры 200 р, молоко 70 р, куриное филе 300 р).

Умножая покоординатно один вектор на другой, имеем такие общие затраты:
s*p = 1*105+2*80 + 0.3*200 + 1*70 + 0.7*300 = 105 + 160 + 60 + 70 + 210 = 605 рублей.

В результате перемножения получилось число. В математике его ещё называют скаляр, а такое произведение векторов — скалярным.
В общем случае если у вас n координат, то произведений в сумме тоже будет n, см. иллюстрацию к посту.

По тому же принципу работают многие психологические тесты, где по сумме баллов определяются черты характера или психическое состояние. В одном векторе — вопросы, в другом — количество баллов за каждый ответ. Например, А — 1 балл, В — 2 балла, С — 3 балла. Результат скалярного произведение векторов вопросов и ответов помогает охарактеризовать респондента.

В школе скалярное произведени ещё считают по формуле
a*b=|a|*|b|*cos∠(a, b).
Она полезна, если векторы заданы как направленные отрезки, то есть в геометрических задачах. В других случаях угол редко бывает дан, чаще даже наоборот — угол надо найти. Об этом расскажем в следующем векторном посте. А пока — задача!

Бригадир оценивает стоимость ремонта квартиры. Она зависит от 4 факторов: удалённости объекта в км, объёма вывозимых вещей в м³, срочности работ (по шкале от 0 до 10) и метража объекта в м².
Вектор цен за услуги:
k=(500, 2000, 5000, 4500).
До квартиры клиента 20 км, нужно вывезти 0.5 м³ вещей, срочность — 3, площадь квартиры — 60 м². Помогите бригадиру и рассчитайте стоимость ремонта квартиры.

Ответы и решения ждём в комментариях под скрытым текстом.

Есть несколько областей нашей жизни, которые подтолкнули математику сильно вперёд. И одна из них — азартные игры. 🃏🎰

Люди играют в них уже тысячи лет, и многие задавались вопросами: какова лучшая стратегия, какова вероятность выигрыша, стоит ли играть в эту игру вообще… Сегодня расскажем об одной проблеме, которую долго игнорировали, а зря!

Во многих играх используют карты. Возьмём колоду из 52 карт. Для игры, скажем, в покер, её сначала следует хорошенько перемешать.
Не можем не отметить, что существует 52! различных результатов тасовок этой колоды. Это число примерно равно 10⁶⁸. Оно столь огромно, что если бы все когда-либо жившие люди с момента Большого Взрыва до сегодняшнего дня круглосуточно бы тасовали карты — всё равно даже близко не перебрали бы все варианты.

Но наша задача на сегодня — практическая и математическая. Казино интересуется: как перетасовать карты лучшим способом? То есть так, чтобы если игрок запомнил порядок карт в колоде, то вероятность угадать карту в новой тасовке была минимальна.

В 1992 году было доказано, что есть правильный способ перемешивания и всего 7 перемешиваний таким способом достаточно для колоды из 52 карт. В результате мы получаем новую случайную тасовку, независимую от предыдущей (ну или почти). Подробнее — в двух видео с математиком, который и доказал этот факт: здесь и здесь.

После его статей все крупные казино мира перешли на правильное перемешивание 😄

Разберём вчерашние вопросы про алгебраические числа. Они были непростыми. Если вы даже немножко полежали в сторону их обдумывания — вы уже много сделали!

В пояснениях мы будем использовать информацию из нашего бесплатного тренажёра, а конкретно — из модулей «Числа», «Алгебра» и «Множества и логика».

1) Верно ли, что любое рациональное число будет алгебраическим?
Да, это верно. Любое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби вида a/b, где a — целое число, b — натуральное. И для каждой такой дроби есть уравнение вида bx-a=0, корнем которого как раз будет число a/b.

2) Какие из чисел являются алгебраическими?
1.7 — алгебраическое, так как рациональное.
∛4 — алгебраическое, так как является корнем уравнения x³-4=0.
lg100 равен 2, так как lg — это десятичный логарифм. Получается, что lg100 — тоже алгебраическое число.
sinπ равняется 0, поэтому это число тоже алгебраическое.

ln9 — это натуральный логарифм натурального числа (звучит смешно, но с точки зрения математики всё осмысленно и это совсем не «масло масляное» :)). Википедия подсказывает, что числа такого вида — трансцендентные.

Самый сложный случай — с числом tg80°, здесь всё зависит от аргумента.
Конкретное значение тригонометрической функции будет алгебраическим, если оно выражается через корни — квадратные, кубические и так далее.
Например, tg15°=2-√3 — и это алгебраическое число.
Число tg80° выражается через корни и является алгебраическим. Но рассуждение вам не понравится (см. обсуждение в комментариях).

3) Множество алгебраических чисел является счётным или континуальным?
Полуформальное объяснение тут такое.

Коротко:
Множество полиномов фиксированной степени с целыми коэффициентами — счётное ⇒
⇒ множество всех полиномов всех степеней — счётное ⇒
⇒ множество их корней — счётное.

Подробнее:
Алгебраические числа — это множество всех корней всех полиномов всех степеней.
Мы говорим о полиномах с целыми коэффициентами. Целые числа — счётное множество, так что если зафиксировать степень полинома, мы получим счётное множество полиномов этой степени.

Теперь рассмотрим все полиномы всех степеней. Это счётное множество счётных множеств — значит, оно тоже счётно!

Перейдём к корням. Количество корней полинома не превышает его степень, а значит, оно конечно. Множество корней всех полиномов (а это как раз алгебраические числа) — это объединение конечного множества счётных множеств. Оно счётно, как и выше!

А теперь главный вопрос этого поста:
сколько раз в ответе на последний вопрос встречается слово «счётное» во всех формах? 😁

Интересно, что разделение чисел на алгебраические и трансцендентные ломает красивую матрёшечную систему: раньше все множества целиком лежали одно в другом, а вот алгебраическими являются лишь некоторые из действительных чисел и некоторые из комплексных — посмотрите схему на нижней картинке.

Для вас мы подготовили несколько вопросов разной степени сложности:

1) Верно ли, что любое рациональное число будет алгебраическим?
2) Какие из данных чисел являются алгебраическими?
1.7, ∛4, lg100, ln9, sinπ, tg80°.
3) Множество алгебраических чисел является счётным или континуальным?
➡️ Подсказка

Ответы и (особенно!) пояснения к ним, как всегда, ждём в комментариях под скрытым текстом.