Каких чисел больше: рациональных или иррациональных?

На первый взгляд — странный вопрос. И тех, и тех бесконечно много.

Мы не умеем интуитивно сравнивать бесконечности, ведь в жизни мы сопоставляем только объекты конечного размера. Причём умеем это делать по разным характеристикам: по массе, объёму, скорости, продолжительности.

А какие характеристики есть у чисел?

Если рассмотреть множество Q рациональных чисел и множество I иррациональных, то можно говорить о сравнении их мощностей. Кстати, фраза «одно множество больше другого» — не очень корректна, хотя так часто говорят, подразумевая именно мощность.

Но что это такое — мощность, и чему она равна? Если множества конечные, то проблем нет: мощность конечного множества равна количеству элементов в нём — посчитали или просто прикинули, да и сравнили. Например, множество двузначных чисел имеет меньшую мощность, чем множество трёхзначных, что понятно даже без точных расчётов.

Но множества Q и I — бесконечные, чему же тогда равна их мощность? Хочется сказать, что у обоих она равна бесконечности. Только вот бесконечность — не число, а хотелось бы именно числовые ответы, которые потом можно сравнить друг с другом.

Оказывается, бесконечности бывают «маленькие» и «большие», про это подробно рассказано в уроке «Понятие бесконечности. Счётные и континуальные множества»

Бывают счётные множества, их мощность равна той самой «маленькой бесконечности», которая обозначается как ℵ₀ (читается как «алеф-ноль»). К таким множествам относятся натуральные, целые и рациональные числа. А есть множества континуальные, их мощность равна «большой бесконечности», которая обозначается как ℭ (это такая красивая «c»). К ним относятся иррациональные и действительные числа.

ℵ₀ и ℭ — уже почти как обычные числа, для них введено отношение порядка: ℵ₀ < ℭ.

Значит |Q|<|I|. Поэтому, если вас кто-то спросит: «Каких же чисел больше?», — отвечайте, что вопрос не очень корректный. :) И тех, и других — бесконечно много, но мощность множества рациональных меньше мощности множества иррациональных.

Кстати, есть и другие числовые множества — но про них в другой раз! 🤓