Разберём вчерашние вопросы про алгебраические числа. Они были непростыми. Если вы даже немножко полежали в сторону их обдумывания — вы уже много сделали!

В пояснениях мы будем использовать информацию из нашего бесплатного тренажёра, а конкретно — из модулей «Числа», «Алгебра» и «Множества и логика».

1) Верно ли, что любое рациональное число будет алгебраическим?
Да, это верно. Любое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби вида a/b, где a — целое число, b — натуральное. И для каждой такой дроби есть уравнение вида bx-a=0, корнем которого как раз будет число a/b.

2) Какие из чисел являются алгебраическими?
1.7 — алгебраическое, так как рациональное.
∛4 — алгебраическое, так как является корнем уравнения x³-4=0.
lg100 равен 2, так как lg — это десятичный логарифм. Получается, что lg100 — тоже алгебраическое число.
sinπ равняется 0, поэтому это число тоже алгебраическое.

ln9 — это натуральный логарифм натурального числа (звучит смешно, но с точки зрения математики всё осмысленно и это совсем не «масло масляное» :)). Википедия подсказывает, что числа такого вида — трансцендентные.

Самый сложный случай — с числом tg80°, здесь всё зависит от аргумента.
Конкретное значение тригонометрической функции будет алгебраическим, если оно выражается через корни — квадратные, кубические и так далее.
Например, tg15°=2-√3 — и это алгебраическое число.
Число tg80° выражается через корни и является алгебраическим. Но рассуждение вам не понравится (см. обсуждение в комментариях).

3) Множество алгебраических чисел является счётным или континуальным?
Полуформальное объяснение тут такое.

Коротко:
Множество полиномов фиксированной степени с целыми коэффициентами — счётное ⇒
⇒ множество всех полиномов всех степеней — счётное ⇒
⇒ множество их корней — счётное.

Подробнее:
Алгебраические числа — это множество всех корней всех полиномов всех степеней.
Мы говорим о полиномах с целыми коэффициентами. Целые числа — счётное множество, так что если зафиксировать степень полинома, мы получим счётное множество полиномов этой степени.

Теперь рассмотрим все полиномы всех степеней. Это счётное множество счётных множеств — значит, оно тоже счётно!

Перейдём к корням. Количество корней полинома не превышает его степень, а значит, оно конечно. Множество корней всех полиномов (а это как раз алгебраические числа) — это объединение конечного множества счётных множеств. Оно счётно, как и выше!

А теперь главный вопрос этого поста:
сколько раз в ответе на последний вопрос встречается слово «счётное» во всех формах? 😁