Кто такой этот ваш факториал

Если вы составляете список задач на день, то точно задавались вопросом: с какой начать? Математик обязательно задаст ещё один вопрос: сколько неповторяющихся вариантов списка задач можно составить?

Допустим, каждое утро вам нужно почистить зубы, выпить кофе, приготовить завтрак и погулять с собакой. 🦷☕️🍳🐕
На первое место мы можем поставить любое из 4 дел, на втором после выполнения первого может быть любое из оставшихся 3, на третьем — любое из оставшихся 2 и на последнем — какое-то 1 дело. Всего 4*3*2*1 = 24 варианта. Итого 24 дня подряд можно делать своё утро немножко разным.

Такие произведения имеют в математике своё название.
Факториал натурального числа n — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n (или от n до 1, что то же самое). Обозначают его n! (читается как «эн-факториал»).
4!, как мы посчитали выше, равен 4*3*2*1 = 24,
5! = 5*4*3*2*1 = 120,
6! = 6*5*4*3*2*1 = 720, и так далее.

Если долго всматриваться в факториалы, можно заметить, что каждый следующий факториал содержит в себе заодно и все предыдущие, — как большая матрёшка, которая содержит в себе матрёшку поменьше и заодно все матрёшки, что были у той внутри.🪆
Научно это называют «рекуррентное свойство» и записывают вот так: n! = n*(n-1)!.

Получается, чтобы найти 7!, достаточно просто умножить 6! на 7. А если умножить полученное произведение на 8, получится уже 8!. Он равен 8*7! = 8*7*6! и так далее. Значения основных факториалов мы положим в комменты к этому посту.

С увеличением числа растёт и скорость роста факториала. Списка из 4 дел хватит на 24 дня, а список из 10 дел будет не повторяться уже примерно 9942 года. Мораль: не планируйте слишком много.
Факториал — незаменимый помощник при изучении комбинаторики. Именно с его помощью вычисляют число перестановок: хоть цветов, хоть дел, хоть рассадки гостей. В задачах на число сочетаний и размещений без факториала тоже не обойтись.

А ещё у факториала много интересных свойств, но о них — в другой раз.
Так что насчёт вашего утра?