Последовательности

Последовательность в математике — это набор чисел, за каждым из которых закреплено конкретное место. Формально это звучит так: последовательность — это упорядоченный набор чисел.
Например: 1, 2, 4, 8, … — последовательность, в которой каждый следующий элемент в 2 раза больше предыдущего.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Например, 3, 6, 9 — конечная последовательность из трёх элементов. А если ставим многоточие в конце, то это значит, что последовательность бесконечная и будет продолжаться дальше по тому же правилу:
3, 6, 9, ….

Как задают последовательности
Есть несколько способов: поэлементно, рекуррентно и с помощью формулы.

Поэлементно. На каждое место мы ставим конкретный элемент и заранее проговариваем, какой именно.
Например: a₁ = 2, a₂ = 4321, a₃ = 15 — это последовательность из трёх чисел, заданная поэлементно. Её также можно задать просто перечислением: 2, 4321, 15.

Рекуррентно. Мы задаём один или несколько первых элементов и указываем формулу, с помощью которой можно вычислить любой элемент, зная предыдущие.
Например, a₁ = 3, aₙ = aₙ₋₁ + 2. Получаем последовательность:
3, 5, 7, 9, 11, …
Знаменитую последовательность Фибоначчи, например, удобно задавать именно рекуррентно: a₁ = 1, a₂ = 1, aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂.
Получаем: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ….

С помощью формулы. В таком случае записывается формула с переменной n, где n — это порядковый номер элемента. Формула помогает вычислить любой элемент, зная лишь его номер.
Например, последовательность квадратов натуральных чисел удобно задать формулой: aₙ = n².

Одну и ту же последовательность можно задать разными способами. Например, последовательность чисел, делящихся на 5, можно задать:
➡️поэлементно: 5, 10, 15, 20, 25, …
➡️рекуррентно: a₁ = 5, aₙ = aₙ₋₁ + 5
➡️с помощью формулы: aₙ = 5n.

Чаще всего исходные данные — последовательность, заданная поэлементно, и нам надо найти логику в этой последовательности, то есть — формулу. Формула помогает, например, находить следующие элементы или вычислять сумму элементов последовательности.
Позже мы ещё расскажем об известных последовательностях. А пока предлагаем прерваться на задачки.

Задачи
Мы зададим несколько последовательностей поэлементно. Попробуйте найти формулу для каждой из них.
1) 7, 13, 19, 25, …
2) 2, 7, 14, 23, 34, …
3) 5, 1, -1, -1, 1, 5, 11, …

Ваши ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.