Существует ли тетраэдр ABCD, обладающий следующим свойством: если точка X выбрана на его описанной сфере так, что отрезок DX пересекает внутренность треугольника ABC, то DX=AX+ BX + CX?
#75Теорема Гаусса-Боденмиллера Прямая ℓ пересекает грани BCD, CDA, DAB, ABC тетраэдра ABCD в точках P, Q, R, S соответственно. (!) Докажите что сферы с диаметрами AP, BQ, CR, DS имеют общую радикальную прямую*.
Радикальная прямая сфер ω₁, ω₂, ω₃ это геометрическое место точек такое что pow(R, ω₁)=pow(R, ω₂)=pow(R, ω₃)
#74Параболоид и ортоцентр В ортоцентрическом тетраэдре ABCD рассмотрим параболоид* что касается его граней. (!) Тогда всегда из ортоцентра H существует триплет взаимно перпендикулярных касательных плоскостей.
*Да, любой параболоид, не только поверхность вращения параболы, а еще и "сплюснутый"
#72Задача на построение Восстановите тетраэдр ABCD по вершине A, центру масс G, центроиду ABC и по центру вписанной окружности I треугольника BCD.
Среди инструментров присутствует сфера за центром и радиусом, а также плоскость через 3 точки. Позволено пересекать сферы, плоскости, а также сферу и плоскость.
#68Полувписанные сферы Назовем A-полувписанной сферой тетраэдра ABCD - сферу что касается плоскостей ABC, ACD, ADB и сферы (ABCD), центр которой O - внутренним образом. Аналогично определяются B, C и D полувписанные сферы. Пусть I - центр сферы что касается граней тетраэдра, при этом находясь внутри него. (!) Докажите что радикальный центр* полувписанных сфер лежит на прямой OI.
*Аналогично радикальному центру окружностей на плоскости, это точка R для которой pow(R, ω₁)=pow(R, ω₂)=pow(R, ω₃)=pow(R, ω₄) для сфер ω₁, ω₂, ω₃, ω₄ соответственно.
#67Crosspoint, или обобщение печально известного преобразования в треугольнике Даны точки P, Q и тетраэдр ABCD. Ka=CDP∩BQ, La=DBP∩CQ, Ma=BCP∩DQ. Kb=CDP∩AQ, Lb=DAP∩CQ, Mb=ACP∩DQ. Kc=BDP∩AQ, Lc=ADP∩BQ, Mc=ABP∩DQ. Kd=BCP∩AQ, Ld=CAP∩BQ, Md=ABP∩CQ. (!) Докажите, что KaLaMa, KbLbMb, KcMcLc, KdMdLd пересекаются в одной точке.
[КАРТИНКА ИЗЛИШНЯ] #66Чевианные тетраэдры В тетраэдре ABCD, PaPbPcPd, QaQbQcQd, RaRbRcRd являются чевианными тетраэдрами* точек P, Q, R соответственно. Sa является точкой пересечения плоскостей PbPcPd, QbQcQd и RbRcRd. Sb, Sc, Sd определяются аналогично. (!) Докажите что прямые ASa, BSb, CSc, DSd пересекаются в одной точке.
#65Ортотрансверсаль и все-все-все В тетраэдре ABCD точка P выбрана так, что <(PAB, PCD)=<(PBC, PAD)=<(PAC, PBD)=90°. Плоскости α, β, γ, δ перпендикулярны прямым AP, BP, CP, DP в P. ℓₐ, ℓ_b, ℓ_c, ℓ_d являются парными пересечениями α, β, γ, δ с BCD, CDA, DAB, ABC соответственно. (!) Докажите что ℓₐ, ℓ_b, ℓ_c, ℓ_d лежат в одной плоскости (!!) Если убрать условие <(PAB, PCD)=<(PBC, PAD)=<(PAC, PBD)=90°, тогда ℓₐ, ℓ_b, ℓ_c, ℓ_d будут принадлежать одной квадрике
Рассмотрим пару скрещивающихся прямых ℓ₁, ℓ₂. Прямая ℓ является пересечением двух перпендикулярных плоскостей ρ₁, ρ₂ содержащих ℓ₁, ℓ₂ соответственно. (!!!) Докажите что геометрическое место прямых ℓ - квадрика для велечин обратных к длиннам осей которой - выполняется теорема Пифагора.
*Длинны осей здесь естественно надо понимать как для коник типа гипербол. Длинна мнимой оси - мнимая, а квадрат отрицательный.
#63Изотомическая инволюция между прямыми в тетраэдре Прямую l спроектировали на плоскость BCD из вершины A получив l_a. N_a - трилинейный полюс l_a относительно треугольника BCD, а P_a - изотомическое сопряжение N_a. Аналогично определяются P_b, P_c и P_d. (!) Докажите что P_a, P_b, P_c, P_d лежат на одной прямой l'. (!!) Докажите преобразование l в l' - инволютивно.
#61Ортоцентрический тетраэдр, середины высот - сфера В ортоцентрическом тетраэдре ABCD с ортоцентром H - Hb, Hc, Hd - ортоцентры граней CDA, DAB, ABC. Mb, Mc, Md середины BHb, CHc, DHd соответственно. (!) Докажите что существует сфера через окружность 9 точек треугольника BCD и Mb, Mc, Md.
#60Педальная сфера и инцентр В тетраэдре ABCD, точка P выбрана так что ∠(PBC, ABC)=∠(PCD, ACD)=∠(PDB, ADB) (!) Тогда педальная сфера точки P проходит через инцентр грани BCD
#59Ортодиагональный октаэдр и сфера В октаэдре ABCDEF, диагонали AD, BE, CF взаимно перпендикулярны и пересекаются в одной точке. (!) Докажите что ортоцентры треугольников ABC, ACE, AEF, ABF, BCD, CDE, DEF, BDF - косферичны.
#58Точка Микеля в гексаэдре Вписанный гексаэдр ABCDEFGH таков, что прямые AB, CD, EF, GH пересекаются в точке P. AE, BF, CG, DH и AD, BC, FG, EH сходятся в Q, и R соответственно. (!) Докажите, что сферы (PADEH), (PBCFG), (QABCD), (QEFGH), (RABEF), (RCDGH) содержат общую точку.
How can I read @olymp_stereo without a Telegram account?
TGViewer shows the public web preview Telegram publishes for Олимпиадная стереометрия: recent posts, photos, videos and the subscriber count, with no app, login or account.
How many subscribers does Олимпиадная стереометрия have?
Олимпиадная стереометрия (@olymp_stereo) has 338 subscribers on Telegram, refreshed roughly every 30 minutes.
Does Олимпиадная стереометрия know I viewed it here?
No. Public channel previews carry no viewer identity, and TGViewer has no accounts or tracking of what you look up.
