Геометрия от Волчкевича

Тень от ведра

На последнем турнире городов была предложена задача про тень от ведра. В ней ведро ставили на пол, а потом переворачивали верх дном. Нужно было доказать, что тень от него при этом всегда уменьшается. Очевидно, решение этой задачи предполагалось на качественном уровне безо всяких формул.
Тем не менее можно получить точные формулы как для задачи с этого турнира, так и для более интересной задачи о наибольшей площади тени от ведра, которое подняли над полом. Однозначный ответ можно получить в случае, когда солнечные лучи падают на пол отвесно.
Предлагаю вам решить эту задачу сначала в конкретных числах, а потом и в общем случае. Решение можно прочесть в комментариях.
Присылайте свои ответы в частях квадратного метра.

Верно или нет? Ответы

Выкладываем ответы на пять поставленных вопросов викторины. Только один из них требует ответа НЕТ: правильный треугольник нельзя накрыть двумя меньшими его копиями. Кстати, такой же ответ будет для кругов или квадратов.
Тетраэдр, все грани которого прямоугольные треугольники, существует — в этом поможет убедиться теорема о трех перпендикулярах.
Как из квадрата вырезать 5 равных квадратов наибольшей площади вы можете видеть на рисунке, они в сумме составляют больше 68% его площади.
На вопрос о четырехугольнике с прямыми углами в пространстве верно ответили только 40% . Решение его короткое и красивое и давно стало классикой.
Разрезание на 4 части выпуклого четырехугольника прямо связано с паркетом из четырехугольников — плитками такой формы можно замостить всю плоскость.

Равнобедренные треугольники в квадрате

Предлагаю две свои задачи на нахождение площадей равнобедренных треугольников в «домиках», образованных единичным квадратом с «крышей» в виде правильного треугольника.
Первая из них может быть решена без особых вычислений методами
8 класса. Для неё даже не нужна теорема Пифагора.
Вторая конфигурация, скорее всего, потребует некоторых выкладок.

Скажу сразу, что ответы в задачах хорошие, а один из них даже рациональный. Как обычно, пишите их в комментариях.

На три равные части. Решение

Выкладываю решение задачи об отрезках в треугольнике, которые делятся вписанной окружностью на три равные части. Первый пункт этой задачи довольно несложен, второй требует некоторой изобретательности. В обоих случаях интересно, что форма треугольника определяется однозначно данным условием. Задачи подходят для учеников 9 класса, для подготовки к единому экзамену в конце 11 класса, а также для всех любителей геометрии.

Квантландия
Среди читателей нашего канала есть замечательный человек – Михаил Евдокимов, один из авторов журнала Квантик, составитель олимпиадных задач, автор книг "Сто граней математики" и "От задачек к задачам".

Недавно команда авторов журнала Квантик сделала бесплатные онлайн-турниры Квантландия с интерактивными задачами и головоломками, смесь олимпиады и компьютерной игры. В прошлом году в нем принимали участие не только школьники, но и взрослые.
Турнир идет до конца марта, и участие в нем бесплатное.

Спасибо еще раз всем! Обязательно следите за собой. Это заболевание часто начинается с обычных густых соплей и боли в горле, либо с растройства и отравления, либо с боли в суставах и голове. Довольно скоро температура поднимается до 40 градусов, и дальше через пару дней менингокок попадает в легкие и в мозг. Дальше уже счет идет на минуты...

Про медицину

По Москве гуляет бактерия менингокока. Мой дядя самых честных правил, когда не в шутку занемог менингитом 70 лет назад, учился заново ходить 3 месяца. Сейчас антибиотики лучше, но все равно бактерия очень опасна.

Сначала я решил, что подхватил грипп, но потом началось страшное: были судороги, я потерял сознание и едва дождался скорой. Хорошо, что врачи сразу определили менингит! Меня отнесли вниз дворники в состоянии овоща, и я полетел с мигалками в инфекционную больницу на Соколиной горе.
Только через 5 дней я обнаружил над собой потолок реанимации и услышал красивую музыку...
Заново родился... Восстановление займет несколько месяцев, так как я получил еще и двустороннее воспаление легких.

Первые симтомы заразы – высокая температура, сыпь на теле, ломота в суставах и мышцах. Что делать? Сразу просить у врачей антибиотики (курс Амоксиклава или разово Циплофлуксицин). И родным, кто близко контактировал, - тоже. Можно заранее сделать вакцину. Не нужно никому болеть этой гадостью!
Всем здоровья!

Геометрия помогает алгебре. Решения.

Выкладываю решение двух задач, с которыми гораздо легче справиться, если использовать геометрическую интерпретацию, теорему косинусов и дополнительные построения.
В комментариях можно выкладывать свои задачи с такими же геометрическими идеями и ответы к ним. Конечно, желательно использовать идеи, которые не повторяют разобранные в этом посте :)

На три равные части

Вот две мои задачи об отрезках в треугольнике, которые делятся вписанной в него окружностью на три равные части. Первая из них довольно легкая, вторая сложнее. Интересно, что форма треугольника однозначно определяется в каждом случае.

Эти задачи в целом на расчеты: теорему Пифагора, квадрат касательной, тригонометрию. Поэтому они больше подходят для программы 9 класса или старших классов школы. Но ведь уметь считать — важное умение для любого математика, физика или инженера.
Ответ достаточно получить с точностью до градуса, но скажу сразу: синус половины одного из нужных углов обрадует тех, кто заканчивал со мной одну школу :)

Три перпендикуляра

Выкладываю свой рабочий листок по теме Теорема о трех перпендикулярах.
В данной подборке есть задачи на нахождение длины перпендикуляра из точки на прямую в пространстве, а так же задачи на перпендикулярность скрещивающихся прямых в кубе или пирамиде. В обоих случаях теорема оказывается очень полезной.

Также теорема о трех перпендикулярах очень помогает при построении сечений, перпендикулярных прямым в некоторых многогранниках: кубе, правильной пирамиде и призме. Но этим задачам посвящена отдельная подборка.

Геометрия помогает алгебре

Принято считать, что алгебра «решает» геометрию, то есть любую не очень сложную геометрическую задачу можно посчитать с помощью координат или векторов. До некоторой степени это верно, и главная проблема здесь — количество времени, необходимое на такие расчеты. Вообще, проблема времени еще не до конца оценена современной математикой. Если доказательство утверждения занимает больше тысячи страниц, то есть реальный шанс не успеть дочитать его до конца жизни, тем более отыскать в нем ошибку.

Интересно, что существуют алгебраические задачи, которые гораздо проще решить с помощью геометрии. В таких случаях уже геометрия протягивает алгебре руку помощи. В нашем учебнике 9 класса есть такие задачи — им даже посвящен небольшой раздел.
Вашему вниманию я предлагаю две задачи такого типа. Попробуйте их решить без громоздких вычислений.
Свои ответы пишите в комментариях.

Три квадрата

Предлагаю вашему вниманию новую задачу с квадратами. Мне кажется, эти конфигурации поистине неисчерпаемы. Приближаются олимпиады школьников, и такая задачка хорошо подойдет для начала тренировки.
Особое искусство решить ее методами 7 класса. Попробуйте это сделать!

Подготовка к ОГЭ

Как известно, главный принцип многих учеников 9 класса, а говоря по правде, так же и многих учителей: нам бы ОГЭ не завалить. Этот лозунг становится все актуальнее - ведь уже началось второе полугодие. А дальше экзамены, и начинает подавать признаки жизни жареный петух...
В последнем издании нашего учебника за 9 класс мы существенно обновили раздел, посвященный повторению геометрии и подготовке к экзамену в конце года. Там собрано больше 100 хороших задач как его тестовой части, так и второй части экзамена, включая последние самые сложные задачи. Более того, туда добавлено несколько сходных по сложности геометрических задач ЕГЭ.
Принцип отбора был прост: задачи должны были быть содержательными, так сказать, «без поддавков».
Поскольку последнее издание пока мало у кого есть, я решил выложить несколько разворотов этого раздела здесь — это будет полезно для подготовки ребят перед экзамененами.

Муравьи и пианино. Решение.

Эта задача по комбинаторной геометрии проще задачи с пианино, которую на практике решали люди и муравьи. Однако предлагаемое решение проходит для коридора с двумя проемами, которые могут быть расположены в его стенах произвольно.

Удивительно, что при неограниченном числе квадратов образующих стол, его площадь не может быть сколь угодно большой — кажется, что в пределе стол превратится в очень длинный и тонкий прямоугольник, который можно просунуть через проем, повернуть и вынести из коридора. На самом деле максимум площади достигается для стола из 10 клеток и он равен 2 квадратным метрам. Потом при увеличении числа клеток площадь стола начнет уменьшаться. Связано это с тем, что при развороте стола один его угол упирается в стену, а длинная «ножка» застревает в проеме на противоположной стене коридора.
Решение вы можете прочесть на рисунке.

Не в качестве рекламы

В этой таблице собраны задачи с рисунками на 1 и 2 признаки равенства треугольников из нашего учебника. К каждому прилагается краткое описание того, что нужно сделать в данной задаче. Таблицу можно распечатать на листе А4, разрезать на карточки и раздать ученикам. Такие таблицы и отдельные задачки, которые можно напечатать на мини принтере, выкладывает моя коллега Наташа Нетрусова в своем новом канале Золотая задача.
По-моему это будет полезно учителям, репетиторам, да и родителям учеников.
Проходите по ссылке и пользуйтесь — в этом канале не будет никакой рекламы!

Параллельный отрезок. Решение.

Выкладываю свое решение задачи про параллельный отрезок в четырехугольнике. Другое решение вы можете прочесть в комментариях к посту с условием этой задачи.
Такую задачу можно давать в 9 классе математической вертикали — она хорошо показывает, как работает свойство гомотетии в нестандартной ситуации.

Также интересно рассмотреть частный случай и найти аналогичную точку на боковой стороне трапеции. В каком отношении эта точка должна делить боковую сторону трапеции, если основания трапеции равны а и b?

Муравьи и пианино

В прошлом году биологи Ofer Feinerman и Tabea Dreyer из института Вейцмана в Израиле опубликовали серию удивительных опытов по решению геометрической головоломки группами людей и муравьев. Им было нужно пронести геометрическую фигуру одной формы через коридор с двумя открытыми дверями. Похожую задачу на практике решают грузчики, когда заносят в квартиру пианино. Поэтому эту проблему называют проблемой пианино.
Удивительно, но муравьи справились с данной задачей не хуже людей. Видео того, как они это сделали, можно посмотреть по ссылке.
Вам же я предлагаю решить упрощенный вариант аналогичной геометрической задачи со столом в форме буквы Т.
Как обычно, свои ответы пишите в комментах.

С НОВЫМ СНЕГОМ!

Сегодня в средней полосе России выпал снег - он шел ночью, шел утром, идет и сейчас... Деревья, дороги, кусты и дома - все заметено белым, стерильным и кружевным, точно оренбургский пуховый платок накрыл землю.

Поздравляю всех подписчиков нашего канала с кануном нового 2025 года - пусть он будет легче, чище и добрее уходящего. Пускай он принесет всем мир и надежду!
А эти стихи - подарок вам на новогоднюю ночь ))

Отрезок в четырехугольнике

Если вы соедините любую точку на стороне выпуклого четырехугольника с концами противоположной стороны, проведенные отрезки пересекут его диагонали в точках P и Q.
В общем случае отрезок PQ будет наклонен к стороне четырехугольника, и лишь для одной точки К на этой стороне он окажется ей параллелен. Если данный четырехугольник – трапеция, точка К будет серединой ее большего основания.
А как построить циркулем и линейкой нужную точку для произвольного выпуклого четырехугольника?