Зачем мне эта математика

Альтернатива секстиллионам

Помните ли вы, как читается число 1 000 000 000? А 1 000 000 000 000? А одной какой будет 0.00000000000000000000001? Если вы в команде нелюбителей запоминания секстиллионов и им подобных, то этот пост для вас. А если вы обожаете такие названия, то пост поможет вам общаться с теми, кто в первой команде.

Стандартный вид числа

Чем больше знаков в записи числа, тем неудобнее его записывать. Более того — совершать с ним операции тоже неудобно. Например, от количества нулей в произведении 13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 немного начинает кружиться голова!
Поэтому математики и физики договорились приводить такие числа к единому виду.

Стандартный вид числа — это запись вида a∙10ⁿ, где 1≤|a|<10 и n — целое. При этом a называют мантиссой, а n — порядком числа.

Условие «1≤|a|<10 и n — целое» означает, что в целой части числа a остаётся одна цифра от 1 до 9, а все остальные переносятся в дробную часть.

Примеры

1) Масса Луны 7.3477∙10²² кг. Тут мантисса — это 7.3477, а порядок числа равен 22.
Без приведения к стандартному виду это число было бы записано как 73 477 000 000 000 000 000 000. Когда мы это записывали, мы два раза пересчитали нули, чтобы не ошибиться. А уж совершать арифметические действия с таким числом совсем не тянет.

2) Записывать в стандартом виде можно не только очень большие, но и очень маленькие величины. В таком случае степень десятки будет отрицательной. Например, 0.00000075=7.5∙10⁻⁷.

3) А вот запись 12∙10² — нестандартный вид, потому что мантисса больше 10. Стандартно — вот так: 1.2∙10³.

Как записать число в стандартном виде

Для больших чисел (если число |k|>1):
1. Поставить точку после первой цифры числа.
2. Посчитать количество знаков после точки — его мы запишем как n в показатель к десятке.
3. Приписать к полученному числу ∙10ⁿ.

Для большего удобства числа округляют до трёх-четырёх знаков после точки — обычно этой точности достаточно.

Например, -134560126=-1.34560126∙10⁸≈-1.346∙10⁸.

Для маленьких чисел (если число |k|<1):
1. Сдвинуть точку вправо, чтобы она оказалась после первой цифры, отличной от нуля.
2. Посчитать количество знаков, на которое пришлось сдвинуть точку — это и будет наше n.
3. Приписать к полученному числу ∙10⁻ⁿ.

Например, 0.0000045625963=4.5625963∙10⁻⁶≈4.563∙10⁻⁶.

Проверим удобство в расчётах

Посчитаем пример из начала поста:
13 000 000 000 000 000 000 ∙ 0.00000075 = 1.3∙10¹⁹∙7.5∙10⁻⁷=9.75∙10¹².
И никакого головокружения!

Решим пятничную задачу про музеи.

1) Алисе нужно распределить 4 разных музея на 6 дней — это количество размещений из 6 по 4. Вспомнить отличие размещений от сочетаний можно в этом посте. Итак, выбрать 4 элемента из 6 с учётом порядка можно n! / (n-k)! способами. Подставим числа: 6! / 2! = 6*5*4*3 = 360 способов.

2) Появилось новое ограничение — теперь не подойдут способы, в которых Алиса посещает больше 2 музеев подряд.
Обозначим дни с музеем за 1, а дни без — за 0. Тогда шестизначная комбинация единичек и нулей покажет, в какие дни Алиса посещает музеи, а в какие — нет. Например, 111010 соответствует музейным дням: пн, вт, ср и пт.

У нас не может быть трёх единичек подряд, а нулей в принципе всего два. Значит, из шестизначных чисел подойдут:
011011,
101011,
101101,
110011,
110101,
110110.
Всего 6 подходящих наборов. В каждом на место единичек нужно расставить музеи — получится 4! комбинаций для каждого из 6 наборов. Значит, Алисе подойдут 6*4! = 144 варианта.

3) Тут условия ещё более строгие (а на самом деле реалистичные):
🔵Хочется оставить субботу под прогулки — значит, нужны схемы с 0 на конце, а такая только одна — 110110.
🔵Билеты в музей Ван Гога есть только на пн-ср, нашей комбинации это не противоречит, у Алисы два варианта дней для этого музея — пн или вт. Остальные музеи надо распределить по трём оставшимся дням — это 3! комбинаций. Итого получаем 2*3! = 12 вариантов. Это из исходных 360 штук. 🙃

Так обычно и бывает в жизни: кажется, что вариантов очень много, но если учесть все условия — остаётся наперечёт.

Ставьте:
❤️, если вы тоже пытаетесь посетить максимум достопримечательностей в короткий срок,
🌚, если ваши отпуска — с запасом по времени.

Задача про музеи Амстердама

Алиса приехала в Амстердам и проведёт там 6 полных дней: с понедельника по субботу. Она хочет посетить 4 музея. Алиса знает, что одного музея в день ей достаточно, а больше — уже перебор впечатлений. Осталось придумать, что в какой день посетить!

1) Сколько есть способов распределить 4 музея по 6 дням с учётом порядка?

2) Возможно, три музейных дня подряд — тоже перебор. Сколько есть способов распределить музеи, если у Алисы не будет более двух музейных дней подряд?

3) Оказалось, что в музей Ван Гога есть билеты только с понедельника по среду. А ещё хочется оставить всю субботу на прогулки по городу. Сколько теперь вариантов у Алисы, если все предыдущие условия тоже сохраняются?
_____

Как всегда — ждём ваши решения и ответы в комменариях под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник, а в выходные призываем вас тоже сходить в музей! 😊

Признаки делимости на 3 и на 9

Признаки делимости помогают быстро определить, делится одно число на другое или нет.
Мы уже обсуждали признаки делимости на 2, 4 и 8 — там мы смотрели на последние цифры числа.

Сегодня пришла очередь делимости на 3 и 9, и здесь уже последние цифры не важны. Нужно смотреть на сумму цифр числа:

Если сумма цифр числа делится на 3, то и всё число делится на 3.
А если сумма цифр числа делится на 9, то и всё число делится на 9.

Простой пример
Это верно даже для двузначных чисел. Например, сумма цифр числа 36 равна 9. Она делится на 3 — и само число 36 делится на 3. А сумма цифр числа 40 равна 4. Она не делится на 3 — и само число 40 не делится на 3.

Пример посложнее
Например, проверим число 275. Сумма его цифр: 2+7+5=14 не делится ни на 3, ни на 9 — значит, и само число не делится ни на 3, ни на 9.

Число 915246 (9+1+5+2+4+6=27) делится и на 3, и на 9. И действительно: 915246=305082*3, и 915246=101694*9.

А число 57012 (5+7+0+1+2=15) делится на 3, но не делится на 9.

Интересный факт
Если вы знаете, что число делится на 3, то любое число из этой же комбинации цифр будет делиться на 3 — ведь сумма останется той же! То же верно и для 9.

Например, раз 57012 делится на 3 и не делится на 9, то и 12057, 70512, 17520 и т. д. — тоже делятся на 3 и не делятся на 9.
Как бы мы ни переставляли цифры в числах, делимость на 3 и 9 не изменится.

Задача
Найдите наибольшее пятизначное число, которое состоит из разных цифр и делится на 3, но не делится на 9.
Ваши рассуждения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Пошалим по-гречески
В математике часто используются греческие буквы. Эти буквы особенно хороши своими названиями — их так и хочется зарифмовать! Смотрите на карточках, что у нас получилось.

Предлагаем продолжить греческие шалости и придумать в комментариях рифмы к греческим буквам. Математические и не очень. 😇
Альфа — …?
Дзета — …?
Эпсилон — …?

Если вашей неделе не хватало чего-то прекрасного, то мы кое-что вам принесли.

Предлагаем посмотреть продолжение истории оранжевого человечка, который боролся с числом e. На этот раз он попал в мир физики. Знаем, это не совсем наш профиль, но мы не смогли пройти мимо — тот же автор снова создал замечательное. В видео много физики, но — скажем по секрету — необязательно в ней разбираться, чтобы насладиться этим Интерсталларом в миниатюре. Математики там сильно меньше, но всё-таки есть!

Сделайте перерыв на 16 минут красоты. ❤️

Привет!
Представьте, что вы аналитик на конфетной фабрике. Фабрика производит два вида ирисок: «Первичный ключик» и «Лисп-лисп». Вам нужно определить, какой ирис слаще. Как это сделать?
Например, набрать по сто конфет обоих видов и съесть их измерить в них количество сахара. Получим что-то такое 👇

Для ирисок «Первичный ключик»:
2.3, 2.5, 2.3, 2.3, 2.6, 2.2, …
Для ирисок «Лисп-лисп»:
2.3, 2.2, 2.5, 2.4, 2.4, 2.3, …

В каждом наборе по 100 чисел, как сравнить их в таком виде — непонятно. Было бы неплохо описать данные одним числом — но каким?
Самый простой способ — вычислить среднее.
Сложим все 100 значений для «Первичного ключика» и разделим на количество ирисок — пусть получилось 2.41 г. Проделаем то же для «Лисп-лиспа» — допустим, получилось 2.38 г.

Сравнить два числа легко: 2.41>2.38 — значит, «Первичный ключик» в среднем слаще.

Среднее в аналитике
Среднее легко рассчитывать, его значение интуитивно понятно — поэтому его часто используют в аналитике. Например:

🟣Бизнес-аналитик оценивает качество работы службы поддержки и рассчитывает среднее время ожидания клиента на линии.
🟣Руководитель отдела разработки сравнивает средние показатели приложения на iOS и Android, чтобы определить, какое нужно доработать.
🟣Продакт-менеджер следит за средними метриками онлайн-школы, чтобы определить направления развития.

Примеров можно привести очень много. Но есть случаи, когда среднее работает плохо, и вы наверняка догадываетесь о чём речь...

Когда среднее не подходит
Первое, что приходит в голову — та самая «средняя температура по больнице», которая не даёт никакой полезной информации. 😅

Ещё один классический пример — расчёт средней зарплаты. Следите за руками.
В компании работает пять сотрудников. Их зарплаты в прошлом году (например, в драгоценных камнях): 10, 10, 10, 10 и 10. Среднее равно 10. Пока всё идёт хорошо.

На следующий год зарплаты изменились: 10, 10, 10, 10 и 85. Вычислим среднюю: 125/5=25. А что, неплохо — таким ростом средней зарплаты можно и похвастаться перед другими компаниями!

Но насколько хорошо сейчас это число описывает набор данных? С точки зрения математики — плохо. Среднее вообще плохо работает, когда в наборе есть данные, сильно отличающиеся от остальных.

Как правильно применять среднее
Перед расчётом среднего полезно проверять набор данных: есть ли в нём значения, которые сильно отличаются от остальных. Например, можно упорядочить числа по возрастанию и посмотреть на значения, близкие к краю.
Если данные образуют одну группу, то посчитать среднее. Оно корректно опишет набор.

Если есть данные, сильно отличающиеся от остальных, то среднее не будет удачным выбором. Стоит или очистить данные, или рассчитывать другой показатель — медиану. О ней поговорим в следующий раз. А если вам нетерпится, заглядывайте в наш бесплатный курс «Основы статистики и A/B-тестирования».

Желаем всем максимально информативных средних! ☺️

Герои сегодняшнего поста — числа Фибоначчи. Вы наверняка с ними знакомы!

Их последовательность задаётся так:
🟣первые два числа равны единицам,
🟣каждое следующее равно сумме двух предыдущих.

Формулами это можно обозначить так:
F₁ = 1,
F₂ = 1,
Fₙ₊₂ = Fₙ + Fₙ₊₁.

Получается такая красивая бесконечная последовательность:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
Иногда её начинают с чисел 0 и 1, так тоже можно, но нам больше нравится вариант с двумя единицами. 😇

Интересные факты

1) Числа Фибоначчи можно получить только сложением друг с другом. Если начать их умножать и делить — всё ломается. Произведение или частное любых двух чисел Фибоначчи, отличных от 1, никогда не равно никакому числу Фибоначчи.
Может быть, это первое правило их Клуба? 🥊

2) Произведение любых n подряд идущих чисел Фибоначчи делится на произведение первых n чисел Фибоначчи.

🔘Например, возьмём n=3, произведение первых трёх чисел: 1*1*2=2. Перемножим любые три подряд числа Фибоначчи — их произведение будет делиться на 2. Пока не удивляет?
🔘Поступим смелее — возьмём n=5, произведение первых пяти чисел: 1*1*2*3*5=30. Значит, произведение любых пяти подряд чисел Фибоначчи делится на 30 (можете проверить). Дальше это тоже работает!

3) Из чисел Фибоначчи можно составить арифметическую прогрессию, но её максимальная длина будет равна трём. Для этого нужно взять любые три числа Фибоначчи с номерами n, n+2, n+3.

🔘Например, начнём с пятого числа: 5, 13, 21 — разница между соседями одинакова, равна 8.
🔘Или начнём с 10-го числа: 55, 144, 233 — разница между соседями снова одинакова.
А вот добавить четвёртое число в эту арифметическую последовательность не получится, с чего ни начинайте!

Но вообще сегодня пятница, так что про более сложные факты поговорим в следующий раз! Какой факт вас больше всего впечатлил?

Математическая справедливость в задаче про такси

В опросе ко вчерашней задаче мнения разделились и в комментариях предложили несколько новых вариантов! Задача действительно неоднозначная: тут уже не только про счёт, ещё и моральные аспекты поднимаются. 😁

Итак, если трое друзей — математики, то они могут решить проблему с помощью теории игр, комбинаторики или экономики. А ещё лучше — применить сразу всё, как в видео.
Справедливое с точки зрения математики решение и его простое обоснование — в последнем фрагменте.

Спойлер: нужно разделить стоимость первого участка дороги на троих, второго — на двоих оставшихся, а за последний кусочек платит только третий человек. Тогда первый заплатит 600/3=200 рублей, второй 600/3+600/2=500 рублей, а третий 600/3+600/2+1800=2300 руб.

Желаем вам приятных и справедливых совместных поездок! 🚕

Делим стоимость такси справедливо
Сегодня у нас очень прикладная задачка, вы наверняка не раз оказывались в похожей ситуации!

Трое друзей возвращаются домой из театра. Им по пути, так что они берут одно такси на троих. Поездка стоит 3000 руб. Вопрос: как делить стоимость?

Что по ценам
Пусть цена зависит только от расстояния. Если бы каждый ехал в отдельном такси, то:
• Первый заплатил бы 600 руб;
• Второй — 1200 руб;
• Третий живёт за городом, так что его поездка стоила бы 3000 руб — столько же, сколько сейчас стоит общая.

Варианты
Навскидку в голову приходят такие:
1️⃣ Разделить 3000 на троих поровну — каждый заплатит 1000 руб. Считать быстро! Но с чего бы первому человеку платить так много? Одному ехать ему было бы выгоднее.
2️⃣ Можно, чтобы первый заплатил 600, а второй — свой остаток в 1200-600=600 руб. Третьему в таком случае останется 1800 руб. С выгодой первого тут тоже вопросы, но хотя бы не переплачивает. 😁
3️⃣ За всё платит третий — он ведь всё равно едет весь маршрут до конца.

В этом канале мы обычно что-то считаем. 🧮

Например, пусть есть магазин вьетнамских специй. 10280 руб — его прибыль за февраль, а 12900 руб — в январе. Рассчитаем, сколько процентов февральская прибыль составляет от январской:
10280/12900*100% ≈ 79.7%.
Ответ получен, конец!

Но на практике это совсем не конец. 😁
У каждого вычисления есть цель, поэтому важно проанализировать результат.
Например, расчёт подобных показателей по месяцам для магазина вьетнамских специй поможет разобраться, как идут дела, составить прогноз на будущее, оптимизировать траты и так далее.

Для того, чтобы анализировать расчёты, не всегда нужна сложная математика, иногда достаточно понимать основы — например, в финансовом анализе. Чтобы начать развиваться в профессии, необязательно разбираться в интегралах и логарифмах. А получить специальные знания можно на курсе «Финансовый аналитик».

Вы научитесь:
• разбираться, как компания зарабатывает и тратит деньги,
• готовить отчёты, которые помогают руководству решать, как развивать бизнес,
• выяснять, где фактические траты расходятся с планами,
• предлагать варианты оптимизации.

Старт ближайшей когорты — 8 февраля. Приходите, будем рады видеть вас среди студентов. ❤️

Узнать больше

Признаки делимости на 2, 4, 8 и другие степени двойки

Как узнать, на что делится число 6124?
Можно пробовать разделить 6124 на другие числа и смотреть, получилось нацело или нет. Рабочий способ, но дооолгий! Ускориться помогут признаки делимости — они позволяют при одном взгляде на число определить, на что оно точно будет или не будет делиться.

Особенно просто определять делимость на степени двойки: на 2, 4, 8, 16 и т. д. Общий подход — смотрим на последние цифры числа.

Делимость на 2
Если последняя цифра числа делится на 2, то и всё число делится на 2, то есть чётное.
Например, 6124 заканчивается на 4 — 4 делится на 2, значит, и 6124 делится на 2.

Ещё делятся на 2 числа 12562, 844, 9116, 240. А вот числа 31, 547, 2023 и 34 575 — нечётные.

Делимость на 4
Здесь смотрим уже на последние две цифры: если они образуют число, которое делится на 4, то и исходное число делится на 4.
Например, 6124 заканчивается на 24 — 24 делится на 4, значит, и 6124 делится на 4.

Среди чисел 12562, 844, 9116, 240 на 4 делятся последние три, так как их окончания 44, 16 и 40 прекрасно делятся на 4. А вот первое число на 4 не делится, потому что его окончание 62 — не делится на 4.

Делимость на 8
Возможно, вы уже уловили идею: больше степень двойки — больше цифр в конце берём.
Чтобы определить делимость на 8=2³, смотрим уже на последние три цифры.

Например, 6124 заканчивается на 124, 124 не делится на 8, а значит, и всё число не делится на 8.
В наборе уже упомянутых выше чисел на 8 делится только 240.

Этот признак делимости менее распространён, так как можно поделить уже и всё число, заодно и результат деления будет известен.

Делимость на 16, 32 и так далее
Аналогичные признаки верны и для 2⁴=16, и для 2⁵=32 и так далее. Но это уже скорее красивая математическая концепция, чем полезный лайфхак.

Задача
Потренируйтесь! Определите, делится ли номер этого года на 2, 4, 8 и так далее. На какую максимальную степень двойки он делится?

Решим пятничную задачу про перепутанные телефоны.

Нам нужно найти вероятность того, что никому из друзей не достался нужный телефон. Будем действовать так:
1) посчитаем общее количество возможных вариантов, кто что может вытащить;
2) посчитаем количество вариантов, которые нас интересуют;
3) разделим второе число на первое — получим нужную нам вероятность! Профит!

Общее количество вариантов, кто что вытащит
Начинаем с количества всех возможных вариантов вытаскивания телефонов компанией из 5 человек. С точки зрения комбинаторики речь идёт о перестановках. Всего перестановок длины 5 существует 5!=120 вариантов.

Количество интересных нам вариантов
Среди этих 120 перестановок есть те, в которых ни один элемент не стоит на своём месте — они называются беспорядки.
Для множества из n элементов количество беспорядков — это субфакториал, он обозначается как !n. Да, это похоже на факториал — в нём тоже есть восклицательный знак. Разница в том, что в факториале он стоит после числа, а в субфакториале — до. Иногда математики очень экономно используют символы 😅

Вычисляем субфакториал
Есть несколько формул для вычиления !n, одна другой краше, чаще всего используют вот такую приблизительную: !n ≈ n! / e, где e ≈ 2.72. Если интересно, откуда она берётся, то вот небольшое видео.

Для небольших n количество беспорядков уже вычислено. Можно посмотреть результаты, например, в таблице.
По формуле или по таблице получаем: !5=44. Это количество вариантов, в которых никому не достался его собственный телефон.

Возвращаемся в нашу задачу!

Рассчитываем вероятность
Получается, всего возможны 120 ситуаций, в 44 из них ни один из друзей не вытянет свой телефон. Значит, искомая вероятность равна 44/120≈0.37.

Вероятность достаточно высока! Вывод очевиден — давайте будем внимательно следить за своими телефонами 😇

Кстати, в нашем бесплатном тренажёре есть целых два урока про беспорядки! Попроще и посложнее. Заходите, если хочется узнать о них подробнее.

Привет!
Сегодня у нас задача на основе реальной истории с длинных каникул. 😇

Пятеро друзей собрались на новогодних праздниках — попить какао и поиграть в настолки. Чтобы ничто не отвлекало их от общения, они сложили свои айфоны в корзинку и пообещали не трогать их до конца вечера. И им удалось!

Когда вечер подошёл к концу, друзья вытащили телефоны наугад и обнаружили, что никому не достался его собственный телефон! Какова вероятность такого события?

Ваши решения и ответы ждём, как всегда, в комментариях под скрытым текстом.
Разбор опубликуем в понедельник.

Прикидка

Как быстро умножить 938 на 27? Есть секрет, который поможет прикинуть ответ быстрее, чем достать телефон и ввести цифры на калькуляторе.

Секрет в том, что точный ответ во многих ситуациях нам не нужен — достаточно примерно понимать результат.
Например, 938*27 ≈ 900*30 = 27000. Реальный ответ будет, конечно, немного другим, но если вы видите 6150 или 340200, то что-то точно пошло не так — значения отличаются от приблизительного на порядок.

Разберёмся в деталях
В примере первое число мы округлили до сотен, а второе до десятков. Почему округления до разных разрядов?

• Если округлять оба значения до десятков, вычисления будут точнее, но станут менее удобны. Смотрите: 938*27≈940*30 — стало удобнее, но ненамного!
• Если округлять оба множителя до сотен, то второй округлится до 0, и полученный ответ будет бесполезен.

Повышаем точность прикидки
Округление — это вечный баланс между точностью и лёгкостью вычислений. Один из способов справиться с этим — прикидывать с двух сторон.

Например, вы рассматриваете месячный проездной на общественный транспорт и хотите оценить стоимость проезда в день. Пусть проездной стоит 3665 рублей, а рабочих дней в месяце в среднем 22.
Делить 3665 на 22 непросто, так что прикинем результат:
• Сначала округлим делимое в меньшую сторону, а делитель — в большую.
3600/30 = 120 руб.
• Теперь наоборот — округлим делимое в большую сторону, а делитель — в меньшую. 3700/20 = 185 руб.

Значит, стоимость поездки в день — где-то между 120 и 185 руб.
Например, можно взять серединку интервала: (120+185)/2 = 305/2 = 152.5. Сравним с точным ответом: 3665/22 ≈ 166.7 руб. А что, неплохо! Без столбиков, калькулятора и с пользой для мозга!

Задание
Предлагаем вам понаблюдать за своим днём и подумать, где будет полезна прикидка. Своими идеями делитесь в комментариях. 😇