Нам нужно найти вероятность того, что никому из друзей не достался нужный телефон. Будем действовать так:
1) посчитаем общее количество возможных вариантов, кто что может вытащить;
2) посчитаем количество вариантов, которые нас интересуют;
3) разделим второе число на первое — получим нужную нам вероятность!
Общее количество вариантов, кто что вытащит
Начинаем с количества всех возможных вариантов вытаскивания телефонов компанией из 5 человек. С точки зрения комбинаторики речь идёт о перестановках. Всего перестановок длины 5 существует 5!=120 вариантов.
Количество интересных нам вариантов
Среди этих 120 перестановок есть те, в которых ни один элемент не стоит на своём месте — они называются беспорядки.
Для множества из n элементов количество беспорядков — это субфакториал, он обозначается как !n. Да, это похоже на факториал — в нём тоже есть восклицательный знак. Разница в том, что в факториале он стоит после числа, а в субфакториале — до. Иногда математики очень экономно используют символы 😅
Вычисляем субфакториал
Есть несколько формул для вычиления !n, одна другой краше, чаще всего используют вот такую приблизительную: !n ≈ n! / e, где e ≈ 2.72. Если интересно, откуда она берётся, то вот небольшое видео.
Для небольших n количество беспорядков уже вычислено. Можно посмотреть результаты, например, в таблице.
По формуле или по таблице получаем: !5=44. Это количество вариантов, в которых никому не достался его собственный телефон.
Возвращаемся в нашу задачу!
Рассчитываем вероятность
Получается, всего возможны 120 ситуаций, в 44 из них ни один из друзей не вытянет свой телефон. Значит, искомая вероятность равна 44/120≈0.37.
Вероятность достаточно высока! Вывод очевиден — давайте будем внимательно следить за своими телефонами 😇
Кстати, в нашем бесплатном тренажёре есть целых два урока про беспорядки! Попроще и посложнее. Заходите, если хочется узнать о них подробнее.