Зачем мне эта математика

• На отрезке от 1 до 10000 по формуле имеем 10000 ÷ ln10000 ≈ 1085.7 простых числа, а фактически их 1229. Посчитаем ошибку: (168-144.8) ÷ 1229 = 0.117 или 11.7%. Потом будет только лучше, можете убедиться самостоятельно.

Теорему можно переформулировать, чтобы оценить вероятность того, что число — простое. Если на отрезке от 1 до n случайно выбрать натуральное число, то вероятность того, что оно окажется простым, примерно равна 1 ÷ ln(n). И чем больше n, тем точнее эта формула.

Напоследок вопрос вам. Для кого вероятность оказаться простым выше: для числа a ∈ [1; 500] или для числа b ∈ [500; 1000]? Под скрытый текст прячьте ответ и обе эти вероятности, округлённые до сотых.

С какой вероятностью число — простое?

Давненько у нас не было понедельничной рубрики о простых числах! Исправляемся.
Сегодня принесли вам Теорему о распределении простых чисел.

Оказывается, если взять конкретный отрезок, то можно примерно оценить, сколько простых чисел на нём содержится. Конкретно теорема звучит так: на отрезке от 1 до n содержится около n ÷ ln(n) простых чисел. При этом чем больше n, тем точнее эта формула описывает их количество.

Формальное доказательство теоремы непростое. Но это не мешает нам проверить, как она работает! Посмотрим на нескольких отрезках:
• На отрезке от 1 до 10 формула обещает 10 ÷ ln10 ≈ 4.3 простых числа. В действительности их 4 штуки: 2, 3, 5, 7. Доля ошибки равна (4.3-4) ÷ 4 = 0.075, или 7.5%. Обратите внимание: здесь прогнозируемое количество простых чисел больше реального.
• На отрезке от 1 до 100 формула обещает 100 ÷ ln100 ≈ 21.7 простых числа. По факту же их 25. Доля ошибки равна (25-21.7) ÷ 25 = 0.132, или 13.2%. Хм, во-первых, на этом отрезке прогноз уже ниже реального количества — видим, что оценка может отклоняться в любую сторону. Во-вторых, стало хуже! Продолжим смотреть и надеяться, что дальше это исправится.
• На отрезке от 1 до 1000 по формуле ожидаем 1000 ÷ ln1000 ≈ 144.8 простых числа, а в действительности их 168, они выписаны на картинке ниже. Посчитаем ошибку: (168-144.8) ÷ 168 = 0.138 или 13.8%. Стало ещё хуже, но скачок был уже не такой драматичный. Обещаем, дальше всё наладится. :)

В математике много логических связей, но некоторые из них неочевидны. Например, связь тригонометрических функций с единичной окружностью. Обсудим подробнее.

Построим единичную окружность с центром в начале координат O.
Поставим на окружности произвольную точку K и проведём радиус OK. Пойдём от положительного направления оси Ox против часовой стрелки до этого радиуса — получим угол α. Этот угол принимает значения от 0° до 360° (потом можно ввести и другие значения, но сегодня сосредоточимся на этих).

Оказывается, cosα равен координате x точки K, а sinα — координате y этой точки. Почему? Понять это поможет иллюстрация, а лучше — интерактив! Пощупайте эту взаимосвязь в интерактиве из модуля по линейной алгебре курса «Математика для анализа данных». В на последнем слайде можно подвигать точку К и посмотреть, как меняются синус и косинус полученного угла.

Хороших вам выходных!

Как видите, первые четыре постулата интуитивно понятны, а пятый сильно от них отличается. С древних времён математики пытались доказать, что пятый постулат вытекает из других четырёх, но безуспешно.
Тогда в 17 веке учёные зашли с другой стороны — от противного. Они предположили, что постулат неверен, и хотели рассуждениями прийти к противоречию. Такой заход тоже не привёл к результату.
В 19 веке к этой идее подошли по-новому. Математики стали изучать другие геометрии — такие, в которых пятый постулат не выполняется.

Например, геометрия Лобачевского работает не на плоскости, а на поверхностях с отрицательной кривизной (грубо говоря, вогнутых), например, на гиперболоиде, как на картинке.
Здесь через точку, не лежащую на прямой, всегда можно провести как минимум 2 прямые, которые её не пересекают. На нашем рисунке их даже три. Никакая из цветных прямых не встретится с чёрной: поверхность расширяется, и прямые как бы разбегаются. Получается, в геометрии Лобачевского не выполняется пятый постулат — в части про единственность параллельной прямой.
И смотрите, какая интересная штука получается со свойством транзитивности: жёлтая и красная прямые параллельны чёрной, но между собой — пересекаются! В геометрии Евклида можно сделать вывод: если две прямые параллельны данной, то они параллельны между собой. А в геометрии Лобачевского такие рассуждения неверны. Возможно, именно так и родился миф: кто-то попытался применить свойство транзитивности в геометрии Лобачевского и сделал вывод, что «параллельные прямые пересекаются».

Есть и третья геометрия — геометрия Римана, она же эллиптическая геометрия. Работает на поверхностях с положительной кривизной (грубо говоря, выпуклых): например, на сфере. Наша планета — поверхность, приближённая к сферической, так что вообще-то мы существуем именно в геометрии Римана! Здесь важно, что хотя шар — трёхмерная фигура, но сфера (поверхность шара) — это двумерный объект, ведь для ориентации на ней достаточно двух координат. Мы, например, используем широту и долготу.
В геометрии Римана прямыми считают «наибольшие» окружности, которые лежат в плоскостях, проходящих через центр сферы. Сложная формулировка, на картинке показать проще. На ней у нас изображены две такие «прямые». Ирония в том, что на сфере любые две «прямые» пересекаются. Значит, в геометрии Римана параллельных прямых нет вообще! Получается, не выполняется первая часть пятого постулата: через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной ей.

Как видите, миф о том, что параллельные прямые пересекаются, в корне неверный: они никогда не пересекаются! Особенности параллельных прямых в разных геометриях — в другом: в геометрии Лобачевского через точку, не лежащую на прямой, можно провести не менее двух прямых, параллельных данной, а в геометрии Римана параллельных прямых вообще нет.

Разрушаем мифы о параллельных прямых

Вы наверняка слышали фразу «в геометрии Лобачевского параллельные линии пересекаются». Но это неверно! Это как с морской свинкой, которая и не морская, и не свинка. 😅
Параллельные линии не могут пересекаться ни в какой геометрии просто по определению, ведь тогда они не были бы параллельными.
О чём же тогда речь в мифе? Разберёмся, что на самом деле происходит с линиями в 2D-геометриях.

Самая простая и известная геометрия — евклидова. Это геометрия на плоскости, как раз её изучают в школе.
В основе геометрии Евклида лежат постулаты, они описывают очевидные связи, на которых строится вся наука. Всего постулатов пять:
1. Между любыми двумя точками можно провести прямую.
2. Любая прямая бесконечна.
3. Из любого центра можно описать круг любого радиуса.
4. Все прямые углы равны.
5. Через точку, не лежащую на прямой, всегда можно провести параллельную ей прямую, причём только одну.

Привет!
Сегодня мы без задач, зато — внезапно — с интервью. Мы проводим исследование, и для него нам нужны студенты, которые изучают или хотят изучить статистику. Если это про вас, то приглашаем на интервью. На нём спросим о целях вашего обучения, опыте и о том, какие курсы вам интересны в будущем. Интервью пройдёт в Zoom и займёт не больше 30 минут.

Если вы готовы участвовать, заполните, пожалуйста, форму для сбора контактов. Мы свяжемся с вами и назначим удобное для вас время и дату интервью.

Спасибо!

Возвращаемся ко вчерашней кофейно-молочной задаче.

Решение в общем виде приложим в комментариях, а здесь рассмотрим частный случай с конкретными числами. Это полезный приём в доказательствах!

Возьмём кружку в 200 мл и ложку 10 мл. Сначала в первой — 200 мл кофе, а во второй — 200 мл молока.

После первого переливания в первой кружке остаётся 200-10 = 190 мл кофе, а во второй становится 200 мл молока и ещё 10 мл кофе, всего 210 мл жидкости. Концентрация кофе в этой смеси: 10/210 = 1/21.

Зачерпнём 10 мл смеси из второй кружки. В этой ложке будет 10*1/21 = 10/21 мл кофе, а остальные 10-10/21 = 200/21 мл — молоко. Всё это выливаем в первую кружку. В ней был только кофе, поэтому молоко в ней — только то, что было в ложке, то есть 200/21 мл.

Посчитаем количество кофе во второй кружке. С первой ложкой приехало 10 мл, со второй — уехало 10/21 мл, значит, осталось 10-10/21 = 200/21 мл кофе. Это ровно столько же, сколько молока в первой кружке!

Ответ: поровну

Задача про кофе и молоко

Взбодрим начало новой недели чашечкой кофе. И молока!

Возьмём две кружки одинакового объёма. Первую заполним эспрессо, а вторую — молоком.
Затем из кружки с кофе зачерпнём одну ложку и перельём во вторую. Хорошенько перемешаем.
Во второй кружке теперь смесь молока и кофе. Зачерпнём эту смесь той же ложкой и положим в первую кружку. Снова перемешаем.
Вопрос: чего больше — молока в первой кружке или кофе во второй?

Ваши рассуждения и ответы ждём в комментариях под скрытым текстом.

Решим вчерашнюю задачу про бракованную пару обуви.
Нужно было найти вероятность того, что бракованная пара, купленная в этом магазине, произведена на второй фабрике.

Для решения нам пригодятся две вероятности: общая вероятность купить брак в магазине (обозначим её за P) и вероятность того, что доставшийся брак — именно со второй фабрики (обозначим её за P_2).
Тогда искомая вероятность равна P_2/P. По сути это условная вероятность, но можно записать рассуждения и без знаний о ней.

Сначала переведём проценты в доли.
Обувь с первой фабрики составляет 0.3 от всего ассортимента магазина.
Обувь со второй — 0.55 от ассортимента.
Тогда на третью фабрику приходится
1 - 0.3 - 0.55 = 0.15 от обуви в магазине.

Теперь вычислим вероятности.
Вероятность того, что достался брак именно со второй фабрики:
P_2 = 0.015*0.55 = 0.00825.

Вероятность в целом купить брак в магазине равна сумме вероятностей брака с каждой из фабрик:
P_1 + P_2 + P_3 = 0.01*0.3 + 0.015*0.55 + 0.02*0.15 = 0.003 + 0.00825 + 0.003 = 0.01425.

Ищем вероятность того, что если Нине досталась бракованная пара — то именно со второй фабрики. Она равна 0.00825/0.01425 = 825/1425 = 33/57 = 11/19 ≈ 0.58.

Хороших вам выходных!

На прошлой неделе на эфире мы не успели разобрать одну задачу. Сегодня предлагаем вам над ней подумать.

В магазине танцевальной обуви продают туфли с трёх фабрик. Продукция первой фабрики составляет 30% от всей обуви в магазине, второй — 55%, остальную обувь привозят с третьей фабрики.
На каждой фабрике случается брак. Для первой фабрики вероятность произвести бракованную пару составляет 0.01, для второй — 0.015, для третьей — 0.02.
Нина купила пару туфель в магазине, и они оказались бракованными. Какова вероятность того, что пару произвели на второй фабрике?

Ответы, как всегда, присылате в комментарии под скрытым текстом.

Блинчики и Билл Гейтс

В честь начала Масленицы поговорим о блинах! Точнее, об алгоритме их сортировки.
Кроме шуток — существует, так называемая, “The pancake problem". Это задача, в которой нужно упорядочить блинчики по убыванию размера. При этом можно только брать стопку из нескольких блинчиков сверху и переворачивать её. Подробнее о задаче вот в этом видео, рекомендуем к просмотру! Там же и рассказывают, при чём тут Билл Гейтс (да, тот самый).

Дело, конечно же, не ограничивается кулинарией. Блинчики — это красивая интерпретация абстрактной задачи. С точки зрения математики, речь об алгоритме сортировки, в котором единственная допустимая операция — переворот элементов последовательности до какого-либо индекса. Реализацию алгоритма на Python можно посмотреть, например, здесь.

У этой задачи есть модификация — задача о подгоревших блинах (о ней тоже есть в видео). В 2008 году группа студентов создала биокомпьютер, который мог решать простейший вариант этой задачи. Он работал на основе генетически модифицированной кишечной палочки: роль блинов здесь играли фрагменты дезоксирибонуклеиновой кислоты. Бактерия выстраивала фрагменты в нужном порядке — так она приобретала устойчивость к антибиотику и не погибала. Время, затраченное на поиск правильной комбинации, показывало минимально необходимое число переворотов фрагмента.

Вот так одна математическая задача объединяет блинчики, алгоритмы и умные бактерии!

Запись эфира с решением задач

На записи не сохранилось представление спикеров, поэтому продублируем.

Задачи разбирает Диана Миронидис — выпускница Мехмата МГУ, преподаватель математики, автор курсов по комбинаторике и математическому анализу, а также автор постов в канал «Практически математически» :)

Модерирует встречу Вика Федосеенко, продакт-менеджер курса «Основы математики для цифровых профессий».

Спасибо всем за участие!

Live stream finished (1 hour)

Live stream started

Прямой эфир с решением задач уже завтра!

16 февраля в 16.00 мы проведём прямой эфир с разбором задач с собеседований. Эфир пройдёт прямо здесь, в телеграме, поэтому регистрироваться не нужно. Просто заходите в канал в назначенное время и подключайтесь к трансляции.

Всех ждём!

Я ❤️ ленты Мёбиуса

Любите ли вы ленты Мёбиуса так, как любим их мы? Если да — ловите старенькое, но милое видео о них. В конце видео вас ждёт рецепт математической валентинки.

А к лентам Мёбиуса мы обязательно ещё вернёмся, у них много удивительных свойств!

Решение покажем завтра в комментариях.

Если хотите изучить линейную алгебру в целом и матрицы в частности — добро пожаловать в наш курс «Математика для анализа данных».
Ну а если про матрицы вам уже всё известно, то заглядывайте в курс по Data Science: там вашим знаниям точно найдётся применение!

Перемножение матриц

В линейной алгебре часто работают с матрицами. Если коротко, матрица — это таблица с числами. У неё есть много разнообразных свойств, которые вытекают из того, откуда вообще в ней взялись числа… но сегодня не об этом.

К матрицам можно применять некоторые математические операции — например, их можно перемножать! Но не всегда: матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа только на матрицу, имеющую n строк. Почему справа? Потому что порядок матриц-множителей влияет на результат. 😇

Если не брать во внимание некоторые ограничения, то в ручном умножении небольших матриц нет ничего сложного. Уверены, даже если вы никогда не сталкивались с линейной алгеброй, вам хватит 10 минут, чтобы разобраться.

Убедитесь сами:
1. Посмотрите интерактив из модуля «Линейная алгебра» курса «Математика для анализа данных».
2. Найдите произведение матриц с иллюстрации в начале поста. Ответы публикуйте под скрытым текстом.

Решение диафантового уравнения

Вчера мы разобрали задачу про эклеры, а в конце предложили вам решить другое диафантово уравнение.

Вопрос звучал так:
Сколько натуральных решений будет иметь уравнение 5x + 4y = 70?

Ответов было немного, поэтому давайте разберёмся вместе!

4y и 70 — чётные, значит и слагаемое 5x тоже. Такое возможно только при чётных значениях x.

Начинаем с наименьшего чётного среди натуральных: при x = 2 получим y = (70 - 5*2) ÷ 4 = 15 — тут всё хорошо.

Продолжаем:
x = 4, y = (70 - 5*4) ÷ 4 = 12.5 — не целое, так что эта пара не подходит.
x = 6, y = (70 - 5*6) ÷ 4 = 10 — подходит.
x = 8, y = 30 ÷ 4 = 7.5 — не подходит.
x = 10, y = 20 ÷ 4 = 5 — подходит.
x = 12, y = 2.5 — не подходит
x = 14, y = 0 — тоже не подходит, так как 0 не натурален.

Дальше значения y становятся отрицательными, то есть не натуральными. Поэтому можно не продолжать.

Итого есть 3 подходящих решения:
x = 2, y = 15;
x = 6, y = 10;
x = 10, y = 5.

АПД: также можно было перебирать кратные 5 игреки, так как 5x и 70 точно делятся на 5.

Вот такая задача. Напоследок напомним, что научиться решать подобные уравнения можно в уроке «Уравнения и системы уравнений в целых числах».

Хороших выходных!

Итак, покажем, как решается наша эклеро-чайная задача.

Обозначим цену эклера за x, а цену чая — за y. Тогда условие задачи перепишем в виде уравнения 2x + 3y = 165.
Чаще всего — сколько переменных, столько и уравнений. Тогда получается система, которую несложно решить. Но бывает, что переменных больше, чем уравнений, как в нашем случае.

В общем случае у уравнения 2x + 3y = 165 бесконечно много решений. Численных данных на второе уравнение у нас, увы, больше нет. Но есть другие! Они и помогут нам найти конечное количество решений.
По условию известно, что решения целые и, более того, речь про цены, так что они даже натуральные! Ещё мы знаем, что одна из переменных больше другой: эклер дороже чая, то есть x > y.
Эти ограничения и помогут нам устроить перебор!

Сначала сузим круг подозреваемых. Для этого используем свойства делимости: 165 делится на 3, слагаемое 3y тоже делится на 3, а поэтому и 2x должно. И это явно случится из-за множителя x.

Начнём перебирать подходящие иксы.
Например, пойдём от наибольшего, это x = 81. Тогда y = (165 - 2*81) ÷ 3 = 1. Решение математически верное, но в жизни маловероятное: чай могли дать в подарок, но вряд ли он стоил 1 лиру.

При x = 78 получим y = (165 - 2*78) ÷ 3 = 3. Тоже вряд ли, хотя по математике всё в порядке, оба значения целые.

При x = 75 имеем y = 5, а потом будут такие пары:
x = 72, y = 7;
x = 69, y = 9;
x = 66, y = 11;
x = 63, y = 13;
x = 60, y = 15;
x = 57, y = 17;
x = 54, y = 19;
x = 51, y = 21;
x = 48, y = 23;
x = 45, y = 25;
x = 42, y = 27;
x = 39, y = 29;
x = 36, y = 31.
Дальше их цены сравниваются, а потом эклер становится дешевле чая. Это не соответсвует условию, поэтому останавливаемся.

Больше всего похожи на правду, конечно же, ответы x = 60, y = 15 и x = 45, y = 25, так как заведения любят ставить круглые цены!
Первый из них ребята и обнаружили в чеке.
Но подчеркнём, что с математической точки зрения решений было 16 штук, они все подходили под условия.

Ваша очередь решать диофантово уравнение!
Сколько натуральных решений будет иметь уравнение
5x + 4y = 70?
Количество решений и сами решения ждём в комментариях под скрытым текстом.