Как видите, первые четыре постулата интуитивно понятны, а пятый сильно от них отличается. С древних времён математики пытались доказать, что пятый постулат вытекает из других четырёх, но безуспешно.
Тогда в 17 веке учёные зашли с другой стороны — от противного. Они предположили, что постулат неверен, и хотели рассуждениями прийти к противоречию. Такой заход тоже не привёл к результату.
В 19 веке к этой идее подошли по-новому. Математики стали изучать другие геометрии — такие, в которых пятый постулат не выполняется.

Например, геометрия Лобачевского работает не на плоскости, а на поверхностях с отрицательной кривизной (грубо говоря, вогнутых), например, на гиперболоиде, как на картинке.
Здесь через точку, не лежащую на прямой, всегда можно провести как минимум 2 прямые, которые её не пересекают. На нашем рисунке их даже три. Никакая из цветных прямых не встретится с чёрной: поверхность расширяется, и прямые как бы разбегаются. Получается, в геометрии Лобачевского не выполняется пятый постулат — в части про единственность параллельной прямой.
И смотрите, какая интересная штука получается со свойством транзитивности: жёлтая и красная прямые параллельны чёрной, но между собой — пересекаются! В геометрии Евклида можно сделать вывод: если две прямые параллельны данной, то они параллельны между собой. А в геометрии Лобачевского такие рассуждения неверны. Возможно, именно так и родился миф: кто-то попытался применить свойство транзитивности в геометрии Лобачевского и сделал вывод, что «параллельные прямые пересекаются».

Есть и третья геометрия — геометрия Римана, она же эллиптическая геометрия. Работает на поверхностях с положительной кривизной (грубо говоря, выпуклых): например, на сфере. Наша планета — поверхность, приближённая к сферической, так что вообще-то мы существуем именно в геометрии Римана! Здесь важно, что хотя шар — трёхмерная фигура, но сфера (поверхность шара) — это двумерный объект, ведь для ориентации на ней достаточно двух координат. Мы, например, используем широту и долготу.
В геометрии Римана прямыми считают «наибольшие» окружности, которые лежат в плоскостях, проходящих через центр сферы. Сложная формулировка, на картинке показать проще. На ней у нас изображены две такие «прямые». Ирония в том, что на сфере любые две «прямые» пересекаются. Значит, в геометрии Римана параллельных прямых нет вообще! Получается, не выполняется первая часть пятого постулата: через точку, не лежащую на данной прямой, нельзя провести ни одной прямой, параллельной ей.

Как видите, миф о том, что параллельные прямые пересекаются, в корне неверный: они никогда не пересекаются! Особенности параллельных прямых в разных геометриях — в другом: в геометрии Лобачевского через точку, не лежащую на прямой, можно провести не менее двух прямых, параллельных данной, а в геометрии Римана параллельных прямых вообще нет.