Математические байки

Так вот, про солитоны. Найти решение уравнения Кортевега-де Фриза, двигающееся с постоянной скоростью, не очень сложно. Мы это сделаем чуть позже — а пока посмотрим на ответ.
Если уравнение KdV записать с константами
u_t + (3/2) u u_x + (1/4) u_{xxx} =0,
то начальное условие с профилем
f(x)= 2k^2 / cosh^2 (kx)
будет двигаться вправо со скоростью v=k^2. Да, k тут не обязательно целое — просто его традиционно обозначают именно этой буквой. А cosh(x)=(e^x+e^{-x})/2 — гиперболический косинус. Поскольку он быстро растёт с ростом |x|, и стоит в знаменателе — волна получается очень хорошо локализованная…

Вот как движется такое решение с k=1.

Ещё одно историческое отступление: всё-таки оцифрованные источники это круто. Можно найти скан текста Джона Скотта Расселла « Report on Waves » 1844 года (см. https://archive.org/details/reportonwavesma00russgoog/page/n7/mode/2up ), посмотреть на титульный лист с рукописными пометками и на рукописные иллюстрации, найти его собственный рассказ про встречу с той волной, вырвавшейся из-под баржи…

Давайте я продолжу про лекцию Кричевера и про интегрируемые системы. Поскольку за растянувшимся на больше, чем неделю, рассказом в канале следить сложно — вот содержание того, что было и что я ещё хочу (попробовать) записать.

* история: инженер Джон Скотт Рассел и одинокая волна в канале
* уравнение Кортевега-де Фриза, и две его "половинки": уравнение Римана-Хопфа (опрокидывающаяся волна) и "размывающее" u_t=u_xxx.
* история: парадокс Ферми-Паста-Улама
+* (не из той лекции — но из записок курса Н. А. Рожковской): одно- и двух-солитонные решения. Как сталкиваются солитоны?
+* « дискретные » солитоны: шарики на прямой, box-ball systems. Как сталкиваются дискретные солитоны?
* магия начинается: пары Лакса.
+* псевдодифференциальные операторы: откуда взялись L и A?
+* конечнозонные потенциалы, коммутирующие дифференциальные операторы и спектральная кривая
* Алгебраическая геометрия: мультисолитонное решение, система линейных уравнений и рациональная кривая с двойными точками.

https://arxiv.org/abs/2301.03149

"A Handbook of Integer Sequences" Fifty Years Later (N. J. A. Sloane)

Until 1973 there was no database of integer sequences. Someone coming across the sequence 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127,... would have had no way of discovering that it had been studied since 1870 (today these are called the Motzkin numbers, and form entry A001006 in the database). Everything changed in 1973 with the publication of "A Handbook of Integer Sequences", which listed 2372 entries. This report describes the fifty-year evolution of the database from the "Handbook" to its present form as "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" (or OEIS), which contains 360,000 entries, receives a million visits a day, and has been cited 10,000 times, often with a comment saying "discovered thanks to the OEIS".

«Когда мне было лет 12–13, я обнаружил, что азарт, взлеты радости и горькие разочарования вызывает у меня такое неожиданное занятие, как чтение гранвилевского курса анализа в русском переводе Лузина, вышедшем в свет в 1935 году. Я нашел эту книжку на чердаке у моего приятеля. Помимо прочего стандартного материала, в ней содержалось и небезызвестное эпсилон-дельта определение непрерывной функции. Поборовшись с этим определением какое-то время (было жаркое крымское лето; я сидел под запыленной яблоней), я так разозлился, что выкопал неглубокую ямку, закопал книгу под деревом и с отвращением ушел. Через час начался дождь. Я ринулся назад к яблоне и откопал бедную книгу. Так я понял, что я ее все-таки люблю.» (Ю.И.Манин)

напомним про замечательную книгу Ю.И.Манина «Математика как метафора», https://math.ru/lib/files/pdf/manin.pdf

«В этой книге собраны примерно два десятка моих «нетехнических» текстов (…). Жанр ее, по старинному выражению, — маргиналии, заметки на полях, наброски мыслей, подготовительные черновики, не превратившиеся в теоремы, определения, романы или философские трактаты.

Математика, прекрасное ремесло, которым я занимался всю жизнь, служит здесь не только поводом для нематематических размышлений, но и метафорой человеческого существования. Не следует понимать эту фразу эзотерически. Математиков мало в каждом поколении, и они общаются часто над головами современников и через прошедшие десятилетия и столетия, как это делают поэты, музыканты, философы.

Сопровождающее такую жизнь чувство, «одиночество бегуна на длинную дистанцию», разные люди компенсируют по-разному. Я с детства любил чтение обильное и беспорядочное…»

https://www.simonsfoundation.org/2012/01/27/yuri-manin/

большое хорошее видеоинтервью Ю.И.Манина

Юрий Иванович Манин (16.02.1937–07.01.2023)

P.S. Ещё один взгляд на японскую теорему — спасибо за него Мише Христофорову!
Проекция « перпендикулярно оси » со сферы на касающийся её цилиндр сохраняет площадь; поэтому площадь « сферической шапочки » пропорциональна её высоте. Поэтому формулу Карно можно переформулировать так: достроим большую окружность (радиуса R) до полусферы. Тогда радиус вписанной окружности в треугольник равен площади висящей над ним части полусферы, делённой на πR.
И значит, дословно так же формулируется и ответ в японской теореме: сумма радиусов вписанных окружностей равна площади части полусферы, висящей строго над многоугольником, делённой на πR.

А во-вторых — вот тут есть доказательство « картинками »:
http://claudialsina.com/wp-content/uploads/2016/10/carnot.pdf ;
спасибо Г. Мерзону за ссылку!

Оставшаяся часть — это доказательство формулы Карно. И тут я дам две ссылки. Во-первых, есть статья 1990 года в « Кванте », посвящённая как раз японской теореме — http://kvant.mccme.ru/1990/07/staraya_yaponskaya_teorema.htm — и там формула Карно доказывается через теорему Птолемея, ac+bd=ef для вписанного четырёхугольника.
(И если об этом зашла речь — должен признаться, что в школьные годы я почему-то не понимал, что о ней хорошо думать в терминах комплексных чисел.)

Ещё одна иллюстрация: окружность как « бесконечноугольник » и два варианта её триангуляции (в серых сегментах тоже триангулируем трапециями).

И конечно, можно было бы с этой формулировки рассказ о японской теореме начать… но тогда она бы выглядела, как кролик, которого достали из шляпы. А так — мы до неё дошли сами, пытаясь разобраться, « что происходит? ».

(Иллюстрация к формулировке: сумма радиусов красных окружностей и диаметров малых чёрных окружностей равна диаметру большой чёрной).

Итак, по модулю недоказанной формулы Карно, японская теорема доказана! Более того, сейчас мы можем ответить и на вопрос « чему равна сумма радиусов вписанных окружностей в триангуляцию многоугольника? ».
Собственно, мы уже получили выше один вариант ответа — она равна разности высоты исходного сегмента и суммы высот оставшихся мелких сегментов. Но он какой-то несимметричный.

Давайте добавим к обеим частям мелкий сегмент, касающийся исходной хорды (дополнение к исходному большому). И тогда получается вот такая симметричная формулировка (в которой я для красоты заменил слова « высота сегмента » на « диаметр окружности, вписанной в сегмент »):

Сумма радиусов вписанных окружностей в триангуляцию многоугольника плюс сумма диаметров окружностей, вписанных в остающиеся сегменты, равна диаметру исходной окружности.

И в таком виде становится понятно, откуда этот ответ берётся. Это та же самая японская теорема, только написанная для всей окружности (как для бесконечно-угольника)!
С одной стороны, для неё мы должны получить её диаметр (её можно рассматривать, как « максимально возможный сегмент »), с другой, можно взять триангуляцию многоугольника — и дополнить её триангуляциями оставшихся сегментов, каждый из которых принесёт свою высоту (свой диаметр вписанной окружности). Вот формулировка выше и получается.

И вот мы получили, что сумма радиусов вписанных окружностей не зависит от триангуляции многоугольника: если к ней добавить сумму высот остающихся сегментов, то получится высота исходного сегмента.

Можно сказать, что высота сегмента — это как « потенциальная энергия »: мы « добываем » из сегмента радиус вписанной окружности, остаётся два меньших с суммарным « остатком энергии ».

Ещё мне тут вспоминается задача про Добрыню и кучу камней — каждый раз, когда богатырь делит кучу камней на две, ему платят число монет, равное произведению количеств камней в получившихся кучах. Тогда заработок зависит только от итогового разбиения, а не от пути, которым к нему шли. Действительно: свяжем все камни друг с другом верёвочками, тогда богатырю платят в точности по монете за разорванную верёвочку, а сколько их пришлось разорвать, зависит только от того, к чему мы пришли. Собственно, количество верёвочек в одной куче это и есть аналог высоты сегмента.
(Можно, я вспомню текст в « Квантике » — https://kvantik.com/issue/pdf/2018-11.pdf ? Очень его люблю, и картинки там прекрасные — у « Квантика » замечательные художники!)

Продолжим дальше — каждый раз, добавляя треугольник, мы заменяем один сегмент на два меньших. И в любой момент сумма радиусов вписанных окружностей в добавленные треугольники плюс сумма высот получившихся сегментов равна высоте исходного сегмента!