Теперь можно спросить себя, что делает другая часть KdV: что, если мы смотрим только на уравнение
u_t + u_xxx =0 ?


Это линейное уравнение — так что его можно решать, как любое другое линейное дифференциальное уравнение: если написано уравнение
u_t = Au,
то для собственного вектора
Au_j = \lambda_j u_j
решением будет u_j * exp(\lambda_j t), ну и дальше решение по линейности раскладывается в линейную комбинацию таких (предположим на секунду, что никаких жордановых клеток нет).

Правда, уравнение на функцию u, то есть на элемент бесконечномерного пространства, но нам это не помешает. Собственные вектора у взятия третьей производной, собственно, совершенно замечательные, это мнимые экспоненты
exp(i ω x)
(мнимые — чтобы не было экспоненциального роста). А разложение по ним называется « преобразование Фурье »!
(Кстати: то, что тут рассматривать надо именно экспоненты, следует из того, что правая часть у нас от x не зависит — поэтому коммутирует со сдвигами. А у коммутирующих операторов « в хорошей ситуации » можно искать общий собственный базис, ну а какая функция при сдвиге аргумента остаётся пропорциональной себе? Конечно, экспонента.)

Если мы посмотрим с этой точки зрения на уравнение
u_t = - c u_x,
то гармоника с частотой ω,
exp(i ω x),
будет собственной для правой части с собственным значением -iωc, так что задаёт решение
exp(-i ω c t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x-ct)),
едущее вправо со скоростью c. И раз с этой скоростью едут все гармоники — то едет и любое другое решение.

Но для
u_t = - u_xxx
собственное значение гармоники exp(i ω x) будет уже -(iω)ˆ3=i ωˆ3, и получается решение
exp(i ωˆ3 t)*exp(i ω x) = exp(i ω (x+ωˆ2 t)),
едущее с зависящей от частоты ω скоростью ωˆ2. И это несколько решение "сглаживает" — гармоники начинают "разъезжаться". Это такое себе сглаживание (вот вторая производная в этом смысле сработала бы гораздо лучше, но тут не она), но "опрокидыванию" оно всё-таки помешает.

(Disclaimer: в этом месте я добавил к лекции И.М. много пояснений от себя. Если вдруг что не так — all blame is on me.)