Итак, по модулю недоказанной формулы Карно, японская теорема доказана! Более того, сейчас мы можем ответить и на вопрос « чему равна сумма радиусов вписанных окружностей в триангуляцию многоугольника? ».
Собственно, мы уже получили выше один вариант ответа — она равна разности высоты исходного сегмента и суммы высот оставшихся мелких сегментов. Но он какой-то несимметричный.

Давайте добавим к обеим частям мелкий сегмент, касающийся исходной хорды (дополнение к исходному большому). И тогда получается вот такая симметричная формулировка (в которой я для красоты заменил слова « высота сегмента » на « диаметр окружности, вписанной в сегмент »):

Сумма радиусов вписанных окружностей в триангуляцию многоугольника плюс сумма диаметров окружностей, вписанных в остающиеся сегменты, равна диаметру исходной окружности.

И в таком виде становится понятно, откуда этот ответ берётся. Это та же самая японская теорема, только написанная для всей окружности (как для бесконечно-угольника)!
С одной стороны, для неё мы должны получить её диаметр (её можно рассматривать, как « максимально возможный сегмент »), с другой, можно взять триангуляцию многоугольника — и дополнить её триангуляциями оставшихся сегментов, каждый из которых принесёт свою высоту (свой диаметр вписанной окружности). Вот формулировка выше и получается.