P.S. Ещё один взгляд на японскую теорему — спасибо за него Мише Христофорову!
Проекция « перпендикулярно оси » со сферы на касающийся её цилиндр сохраняет площадь; поэтому площадь « сферической шапочки » пропорциональна её высоте. Поэтому формулу Карно можно переформулировать так: достроим большую окружность (радиуса R) до полусферы. Тогда радиус вписанной окружности в треугольник равен площади висящей над ним части полусферы, делённой на πR.
И значит, дословно так же формулируется и ответ в японской теореме: сумма радиусов вписанных окружностей равна площади части полусферы, висящей строго над многоугольником, делённой на πR.