Математические байки

(А коэффициент пропорциональности это коэффициент поверхностного натяжения σ — но это нам сейчас неважно.)

Поэтому условие на равновесие мыльной плёнки — это равенство
k_1+k_2 = 0.

(Если бы мы смотрели на мыльный пузырь, у которого по разные стороны от поверхности давление воздуха может быть разным, то было бы k_1+k_2 = const — где константа соответствовала бы разности давлений, делённому на σ — но это, опять же, можно оставить в стороне.)

Полусумму k_1+k_2 называют средней кривизной; соответственно, уравнение на мыльную плёнку в равновесии — это равенство средней кривизны нулю. Такие поверхности называют минимальными — они (локально) минимизируют площадь поверхности (при фиксированных граничных условиях).

Пусть теперь наша поверхность это поверхность мыльной плёнки.
Мысленно вырежем вокруг нашей точки маленький прямоугольник размера (Δs x Δt) со сторонами, параллельными направлениям главных кривизн. Тогда остальная плёнка действует на прямоугольник с силой, пропорциональной
(k_1 + k_2)*Δs*Δt.
Действительно, вертикальный вклад сторон, параллельных оси Os, пропорционалей k_1*Δs*Δt (кривизна k_1 отвечает за то, сколь быстро поверхность "выгибается" в этом направлении), а вклад сторон, параллельных оси Ot, пропорционалей k_2*Δs*Δt.

Раз начало новых координат в нашей точке, U(0,0)=0; раз плоскость была касательной — по линейному приближению функция U тоже нулевая (иначе бы касательная к её графику не была бы горизонтальной), и что-то нетривиальное может быть только, начиная с квадратичных членов.

Значит,
U(s,t) = (1/2)*Q(s,t) + ...,
где Q(s,t)=a*s^2+2b*st+c*t^2 — квадратичная форма, а (...) — члены более высокого порядка. Но квадратичную форму можно поворотом координат привести к главным осям: с точностью до поворота в плоскости (s,t) можно считать, что
Q(s,t) = k_1 s^2 + k_2 t^2.

Величины k_1 и k_2 называются главными кривизнами поверхности — по аналогии с кривизной ( = 1/радиус кривизны) кривой. Они могут быть как одного знака (тогда поверхность локально выпуклая), так и разного (тогда она локально устроена, как "седло" — как на этом рисунке).

Первый способ начинается с введения понятия главных кривизн. А именно — представим себе, что у нас есть какая-то гладкая поверхность, и какая-нибудь точка на ней. Как устроена поверхность рядом с этой точкой?
Можно провести в этой точке касательную плоскость к поверхности, и поменять систему координат: начало в этой точке, две первые координаты (s и t касательные, u по нормали).
Тогда рядом с этой точкой поверхность устроена как график какой-то функции,
u=U(s,t).

Для начала мы опять захотим написать соответствующее дифференциальное уравнение; и есть два способа это сделать. И в обоих используются интересные понятия и идеи, возникающие много где (а далеко не только в пределах конкретного сюжета).

А нам осталось разобраться с мыльной плёнкой: почему и там в сечении получается цепная линия?
(Image credit: Математические этюды, "Цепная линия").

Попробовал подколоть коллегу (ИВЯ) и задал этот вопрос. Немедленно получил красивый физический ответ: раз при движении квадратного колеса центр тяжести движется по горизонтали, то потенциальная энергия не меняется — и значит, каждое положение это положение равновесия. Значит, на одной вертикали, иначе у силы тяжести был бы "опрокидывающий" в какую-нибудь из сторон момент относительно точки касания.

Итак, давайте посмотрим, что будет, если катить полуплоскость по цепной линии. (Мы не будем переворачивать цепную линию — пусть полуплоскость катится снизу.)

Опять, как и раньше, выделим дугу, и пусть в этот раз она начинается в нижней точке цепной линии, а заканчивается в произвольной. Вспомним баланс вертикальных компонент сил: разница вертикальных компонент сил натяжения должна уравновешивать силу тяжести — то есть ρg*(длину дуги).

С другой стороны, в нижней точке цепной линии сила натяжения направлена горизонтально, так что вертикальной компоненты у неё вообще нет, а в другом конце дуги вертикальная компонента равна f'(x)*F, где F — горизонтальная (постоянная) компонента натяжения цепочки. Значит, длина дуги от нижней точки до точки с абсциссой x пропорциональна f'(x) — с коэффициентом (F/ρg).

На рисунке выше — в момент горизонтального касания точкой касания была G, а сейчас, после прокатывания, какая-то точка A. Но раз прокатывание было без проскальзывания, то длина отрезка AG на границе это и есть длина дуги от A до нижней точки, то есть f'(x)*const.
Причём этот отрезок границы сейчас как раз направлен вдоль касательной в точке A — тангенс угла наклона которой равен f'(x). И тут просто просится сделать что-нибудь, чтобы f'(x) сократилось!
Построим прямоугольный треугольник AGF, у которого угол G прямой, а гипотенуза AF вертикальна. Тогда AG:GF=f'(x), поэтому длина отрезка GF при качении не меняется!

Вот тут можно посмотреть на это (точку A можно перетаскивать) —
https://www.geogebra.org/m/g2rs98hj

Дальше, когда мы катим полуплоскость по цепной линии — точка A меняется (это текущая точка касания), а вот G нет (это же та точка полуплоскости, которая была точкой касания, когда граница была горизонтальна). Значит, всегда одна и та же и точка F (мы проходим перпендикулярно границе фиксированное расстояние). И видно, что она движется по горизонтали, так что это и будет наш "центр колеса" — осталось это объяснить.

Но объяснение тут совсем простое! Когда у нас без проскальзывания катится колесо — неважно, какой формы и по какой формы поверхности — мгновенные скорости у его точек такие же, как при вращении (с его текущей угловой скоростью) вокруг точки касания. А поскольку отрезок AF вертикальный — скорость точки F будет строго горизонтальной. И так в любой момент времени!

Вот мы и увидели, что точка F при качении движется строго горизонтально.

Давайте зададимся вот каким вопросом. Когда квадратное колесо катится по нашей кривой (как мы хотим доказать — по цепной линии), в каждый момент можно посмотреть на центр и на точку касания с ухабом. Понятно, что в тот момент, когда касающаяся сторона колеса горизонтальна, они оба на одной вертикальной оси. А незадолго до этого — как на этом кадре из фильма — кто из них правее?

(Image credit: Математические этюды, "Цепная линия")

Spoiler!

а) Сразу можно проверить, что с гиперболическим косинусом я вас не обманываю: гиперболические синус и косинус связаны соотношениями
ch'(x)=sh(x) = (e^x-e^{-x})/2,
sh'(x)=ch(x),
ch^2(x) - sh^2(x) =1,
которые можно проверить либо непосредственно, либо заметив, что
ch(x)=cos(ix), sh(x)=-i*sin(ix). Ну и вообще, если вы их раньше не видели — их стоит запомнить!
Соответственно, для f(x)=ch(x) в числителе будет ch''(x)=ch(x), в знаменателе \sqrt{1+sh^2(x)}=ch(x), так что частное будет тождественной единицей.

б) Более того, это уравнение не так сложно решить. Если умножить обе части на f'(x), то в левой части будет производная от \sqrt{1+f'(x)^2}, а в правой — от const*f. Соответственно, отличаться эти две функции будут на константу. Ну а уравнение
\sqrt{1+f'(x)^2}=С*(f+D)
решается как автономное дифференциальное уравнение первой степени (выражаем f' через f, и дальше стандартно).
Но такое явное решение это именно то, чего я бы не хотел делать!

в) Так вот — следующий шаг это перейти к качению квадратного колеса. Точнее — полуплоскости: то, сколько сторон у колеса (и какие у него углы), влияет только на то, как должны происходить переходы от "катится n-я сторона" к "катится n+1-я сторона" (и на этом я, наоборот, останавливаться не буду).

Сумма сил должна быть равна нулю — и значит, горизонтальные компоненты сил натяжения компенсируют друг друга: у силы тяжести горизонтальной компоненты нет. А раз так происходит для любой дуги (мы же её выделяли мысленно) — то
T(x) cos α(x) = const,
и мы обозначим эту константу через F.

Теперь посмотрим на вертикальный баланс сил. Пусть цепочка задаёт график функции y=f(x), и неизвестная функция f — та самая, которую мы хотим найти. Тогда, раз сила натяжения направлена по касательной к графику, над любой точкой x вертикальная компонента силы натяжения в f'(x) раз больше горизонтальной — и тем самым равна f'(x)*F.

Соответственно, вертикальный баланс записывается так: приращение f'(x)*F между концами дуги равно g*(массу m этой дуги).
Теперь пусть эта дуга маленькая, а ρ — её линейная плотность. Тогда между точками x и x+Δx приращение вертикальной компоненты силы натяжения это примерно
Δx*F*f''(x),
а масса это примерно
m=Δx*ρ*\sqrt{1+f'(x)^2}.
Последний множитель тут потому, что график идёт под углом, и на приращение Δx по оси абсцисс приходится длина примерно Δx*\sqrt{1+f'(x)^2}.

Подставляя и сокращая на Δx, получаем дифференциальное уравнение:
f''(x) = (ρg/F) * \sqrt{1+f'(x)^2},
и поскольку горизонтальная компонента F может быть произвольной (лишь бы она была константой), мы получаем дифференциальное уравнение:
f''(x)=const* \sqrt{1+f'(x)^2}.

Давайте для начала [переключимся в режим физики и] разберёмся с первым сюжетом — как устроена задача для цепной линии. А именно, раз цепочка находится в равновесии, выделим какую-нибудь её часть-дугу и посмотрим, какие на неё действуют силы. Это — сила натяжения цепочки в левом конце дуги, сила натяжения цепочки в правом конце дуги, и сила тяжести. При этом сила натяжения может зависеть от точки — цепочка не-невесомая! — но направлена всегда по касательной к графику (цепочка не умеет сопротивляться "поперечному" изгибу).

И это стало для меня поводом наконец поразбираться со связями задач в этом сюжете.

Давайте я начну с замечательного ролика "Математических этюдов" — "Цепная линия", https://etudes.ru/etudes/catenary/ .

Там появляются три сюжета:
- По какой линии висит между двумя точками подвеса тонкая верёвка или цепочка?
- Какой формы должны быть ухабы на дорогах, чтобы тележка с квадратными колёсами, катящимися без проскальзывания, по такой дороге ехала идеально-горизонтально?
- Натянем мыльную плёнку на два соосных обруча. Она примет форму поверхности вращения (вокруг общей оси) — но от какой кривой (или, что то же самое, как будет выглядеть её сечение плоскостью, проходящей через эту ось)?

Оказывается, что ответ на эти три вопроса (с точностью до мелочей) один и тот же; он называется (из-за первого вопроса) "цепной линией", и это (с точностью до выбора масштаба) график гиперболического косинуса
ch(x) = (e^x + e^{-x})/2.

Все эти задачи можно решить по отдельности: написать дифференциальное уравнение, потом решить его; ну и под конец убедиться, что во всех трёх решения именно такие. Но — часто, если решения совпадают, то на самом деле совпадают или как-то связаны друг с другом сами уравнения.
Так что хочется большего: нельзя ли понять, что решения будут одинаковыми, не решая дифференциальных уравнений, а сводя одну из задач к другой?

Следующее видео — тележка, едущая на квадратных колёсах.

Ну а вот картинка этого пути на прозрачном додекаэдре:
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hamiltonian_path_3d.svg
(image credit: User Cmglee @ Wikipedia)

Остаётся замкнуть путь по большому "круглому" ребру и всё — гамильтонов цикл построен. Причём построен (из начальных предположений) однозначно — так что мы получили, что гамильтонов цикл на додекаэдре единственен с точностью до движений (включая отражения) додекаэдра.
И если их заштриховать, то получаются такие красиво "обвивающиеся" друг вокруг друга полоски.

И можно продолжать: