Математические байки

Теперь можно для каждой вершины, через которую мы уже провели два ребра, отметить третье как выброшенное. А для второй вершины каждого выброшенного ребра можно отметить два других, проходящих через него, как входящие в цикл.

Давайте дорешаем задачу про гамильтонов цикл на додекаэдре — благо, что теперь это совсем несложно.
Правда, я всё-таки воспользуюсь другой версией его графа — где чуть больше пятиугольников, похожих на пятиугольники. :)
Но на ней тоже есть два соседних пятиугольника прямо в центре — и с точностью до симметрии, можно предположить, что это и есть две соседних грани, в которых "выброшено" лишь по одному ребру. Пусть их общее ребро AB, тогда эти выброшенные рёбра должны быть соседними с вершинами A и B (потому что одно из рёбер у A и одно из рёбер у B нужно выбросить). И опять же, с точностью до симметрии, можно считать, что выброшены рёбра из A вправо и из B влево.

Так что весь граф додекаэдра можно нарисовать, сначала нарисовав граф куба, а потом добавив делящие пополам линии.
Такой вот авангардный додекаэдр в кубистском стиле!

А если додекаэдр нужен только топологически, как граф — то можно просто разделить пополам каждую грань куба! (И спасибо Григорию Мерзону, который когда-то меня научил этому трюку.)

Знание о наличии такого куба позволяет и чуть более аккуратно от руки додекаэдр рисовать (особенно тем, кто, как я, не очень хорошо рисует). Надо нарисовать куб и добавлять к нему "четырёхскатные крыши" (над каждой гранью две трапеции и два треугольника — которые на соседних гранях стыкуются в пятиугольники); на этом (курицелапном) рисунке добавлены три таких "крыши" на трёх видимых гранях, и уже получилось нечто, отдалённо додекаэдр напоминающее.

Вообще, потрясающий и очень важный факт — что в додекаэдре есть вписанный куб, а точнее, целых пять кубов. Точно так же, как 4 из 8 вершин куба образуют правильный тетраэдр, и таких есть два, так 8 из 20 вершин додекаэдра образуют куб.
И да, таких кубов пять: если выбрать грань и провести в ней любую диагональ, то она однозначно достроится до куба.
Кстати: то, что такие кубы есть и их пять, даёт хороший ответ на вопрос "построить изоморфизм группы вращений додекаэдра с A_5": вот те пять объектов (кубы), которые будут переставляться.
(Конечно, тут ещё нужно проверить, что у такого действия нет ядра, а образ это именно A_5, но это уже не очень сложно: нет у S_5 другой подгруппы индекса 2, ибо A_5 простая.)

На фото (из той же лаборатории — я знал, что снимать!) как раз один из кубов, вписанных в додекаэдр, и чуть позади тетраэдр, вписанный в куб.

Вообще, задачу про гамильтонов цикл на додекаэдре я знал давным-давно. Но только покрутив его в руках, понял, что о ней можно и нужно думать совсем геометрически.

Например — искомый гамильтонов путь это же простой замкнутый путь по поверхности многогранника, поэтому по теореме Жордана он разрезает эту поверхность на две части. Почему-то, когда я об этой задаче слышал абстрактно, в контексте графов, идея "а посмотрим, какие должны быть части" в голову не приходила...

(Spoiler alert: дальше идёт решение!)

Посмотрим, что у нас есть. Для начала — сведём баланс рёбер.
20 вершин, значит, 20 рёбер в гамильтоновом цикле. Значит, 30-20=10 рёбер не используются.
В каждую вершину входит 3 ребра, из которых два должны быть в гамильтоновом цикле, а одно — нет. Значит, такие "выброшенные" рёбра разбивают вершины на пары. (Геометрически: а если бумажный додекаэдр разрезать по гамильтонову циклу, то получится две области-топологические полоски, состоящие из соседних по таким "выброшенным" рёбрам пятиугольников-граней.)

На каждой грани "выброшенных" рёбер либо одно, либо два (потому что ни ноль, ни больше двух не может быть). Посмотрим, сколько граней с одним выброшенным ребром — таких, как верхняя на фото выше. Посчитаем пары "грань, выброшенное ребро на ней". Их должно быть 2*10=20; если бы на всех гранях выброшенных было по два — то пар было бы 2*12=24, значит, граней с одним выброшенным ребром 24-20=4.
Геометрически — ну да, вырезание гамильтонова пути разрежет поверхность на две "полоски", у каждой из которых будет по две "концевых" грани, итого 4. Но поскольку мы этого формально не знали, пришлось посчитать.

А ещё какие-то две из этих 4 граней будут соседними — просто потому, что среди любых 4 граней додекаэдра найдутся две соседние (от противного: возьмём одну, и тогда нужно оставшиеся 3 разместить в противоположной "полусфере", и там уже легко).

Причём ребро между ними — не-выкинутое (иначе цикл был бы границей их объединения и всё, а это слишком мало). Значит, они из разных "половинок" додекаэдра. И с этого момента всё делается уже совсем легко — но сначала додекаэдр (или его граф) надо нарисовать.

Можно, конечно, нарисовать так, как тут — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Icosian_grid_small_with_labels2.svg — но мне нравится другой способ, так что давайте я сделаю ответвление туда.

На заднем плане (я сознательно не вырезал из этого фото "только треугольник") виден додекаэдр с проведённым на нём замкнутым гамильтоновым путём — проходящим ровно один раз через каждую вершину. И насколько я понимаю, с вопроса/головоломки Гамильтона о том, чтобы такой путь найти, терминология и пошла.

А вот этот додекаэдр отдельно:

А ещё такой треугольник стоит в Математическом парке в Майкопе.

Если что — вот разгадка.

Второе — это потребовало аккуратного выбора точки съёмки, но я-таки снял невозможный треугольник так, что он и впрямь кажется настоящим невозможным!

А вот разборка куба на эти три пирамиды.

Всё ещё в качестве паузы (и я потом продолжу про лекцию Житомирской): пара фото- и видео из Лаборатории популяризации и пропаганды математики МИАН — я тут недавно оказался в гостях у Николая Андреева.

Первое фото — три одинаковые пирамиды, на которые разрезается трёхмерный куб (или "интеграл от x^2 от 0 до 1 равен 1/3"):

А вот мои очки между фонариком и бутылкой — и их стёкла не пропускают ультрафиолет. Проходит видимый фиолетовый свет — и видно, что вообще-то бутылка полностью прозрачная, так что это и впрямь флуоресценция, а не рассеяние:

А вот фонарик поднесён вплотную — и флуоресценция идёт в конусе света:

В качестве небольшой паузы — один опыт, который я выучил только недавно, из вот этого ролика PhysicsGirl. Оказывается, хинин (который есть в тонике) флуоресцирует в ультрафиолете, и это смотрится очень круто! Вот ультрафиолетовый фонарик — и флуоресцирующая бутылка:

И это, кстати, частный случай общей спектральной теоремы — что "хороший" [ограниченный самосопряжённый] оператор можно заменой координат привести к виду "умножения на функцию".

Отсюда, в частности, видно, почему у него нет настоящих собственных векторов (последовательностей, функций): потому что в новых координатах мы просто умножаем на функцию 2cos(2π\alpha), а у неё в каждой точке — своё значение. Поэтому вот если бы в L_2 была "дельта-функция" u, сосредоточенная в одной точке — то она была бы собственной. Но её там нет.
Но по крайней мере — мы получили "почти-диагонализацию", превратив оператор в "умножение на функцию".

[Заканчивая отсебятину и возвращаясь к лекции Житомирской]
Возвращаясь к бесконечной матрице H — вот такое сопоставление, переход от последовательности f_n к функции u(\alpha), отождествляет пространство последовательностей l_2 со сходящейся суммой квадратов модулей и пространство функций L_2(R/Z) со сходящимся интегралом модуля.

И если сделать такой "Фурье"-переход от l_2(Z) к L_2(R/Z), то H в новых координатах запишется как
u(\alpha) -> (e^{2πi \alpha}+e^{-2πi \alpha}) u(\alpha) = 2cos (2π\alpha) u(\alpha),
потому что H это сумма двух частей: сдвига влево, который умножает на одну экспоненту, и сдвига вправо, который умножает на другую.