Вообще, потрясающий и очень важный факт — что в додекаэдре есть вписанный куб, а точнее, целых пять кубов. Точно так же, как 4 из 8 вершин куба образуют правильный тетраэдр, и таких есть два, так 8 из 20 вершин додекаэдра образуют куб.
И да, таких кубов пять: если выбрать грань и провести в ней любую диагональ, то она однозначно достроится до куба.
Кстати: то, что такие кубы есть и их пять, даёт хороший ответ на вопрос "построить изоморфизм группы вращений додекаэдра с A_5": вот те пять объектов (кубы), которые будут переставляться.
(Конечно, тут ещё нужно проверить, что у такого действия нет ядра, а образ это именно A_5, но это уже не очень сложно: нет у S_5 другой подгруппы индекса 2, ибо A_5 простая.)

На фото (из той же лаборатории — я знал, что снимать!) как раз один из кубов, вписанных в додекаэдр, и чуть позади тетраэдр, вписанный в куб.